微积分学示例

$\frac{\cot (x)}{1 + \cot (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = 1 + \cot (x)$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 + \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 相加。

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 4

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 5

乘。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) + 1 \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $\cot (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

合并 $1 (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 6.2.1.1

按照 $\cot (x) (- \csc^{2} (x))$ 和 $\cot (x) \csc^{2} (x)$ 重新排列因数。

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ 和 $\csc^{2} (x) \cot (x)$ 相加。

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + 0}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $1 (- \csc^{2} (x))$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1 (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

将 $- \csc^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

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