微积分学示例

$\frac{e^{x}}{x^{3}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

从 $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $e^{x} x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 5.3.1.2

从 $- 3 e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

解题步骤 5.3.1.3

从 $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

解题步骤 5.3.2

从 $e^{x} x - 3 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

解题步骤 5.3.2.2

从 $- 3 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

解题步骤 5.3.2.3

从 $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

解题步骤 5.4

约去 $x^{2}$ 和 $x^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $x^{2} e^{x} (x - 3)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 5.4.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 5.4.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

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