微积分学示例

$\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$ 重写成 ${(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = \frac{8}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{8}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{8}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

解题步骤 8

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

组合 $8$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 9.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- x^{- 2})$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{8}{3}$ 和 $x^{- 2}$ 。

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8 x^{- 2}}{3})$

解题步骤 11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

${(\frac{x}{8})}^{\frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

解题步骤 12.2

对 $\frac{x}{8}$ 运用乘积法则。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

解题步骤 12.3

合并项。

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解题步骤 12.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

解题步骤 12.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

解题步骤 12.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.3.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

解题步骤 12.3.3.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{2}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

解题步骤 12.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

解题步骤 12.3.5

将 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}$ 乘以 $\frac{8}{3 x^{2}}$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{4 (3 x^{2})}$

解题步骤 12.3.6

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{12 x^{2}}$

解题步骤 12.3.7

将 $8$ 移到 $x^{\frac{2}{3}}$ 的左侧。

$- \frac{8 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{12 x^{2}}$

解题步骤 12.3.8

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{8}{12 x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 12.3.9

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 12.3.9.1

移动 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$- \frac{8}{12 (x^{- \frac{2}{3}} x^{2})}$

解题步骤 12.3.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2}}$

解题步骤 12.3.9.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

解题步骤 12.3.9.4

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

解题步骤 12.3.9.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

解题步骤 12.3.9.6

化简分子。

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解题步骤 12.3.9.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

解题步骤 12.3.9.6.2

将 $- 2$ 和 $6$ 相加。

$- \frac{8}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 12.3.10

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 (2)}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 12.3.11

约去公因数。

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解题步骤 12.3.11.1

从 $12 x^{\frac{4}{3}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{4 (2)}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 12.3.11.2

约去公因数。

$- \frac{4 \cdot 2}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 12.3.11.3

重写表达式。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

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