微积分学示例

$t \sqrt{4 - t}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - t}$ 重写成 ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [t {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$t \frac{d}{d t} [{(4 - t)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = 4 - t$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - t$ 。

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 3.3

使用 $4 - t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$t (\frac{1}{2} {(4 - t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$t (\frac{{(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$t (\frac{1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 - t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $t$ 。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [4 - t] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 9

根据加法法则， $4 - t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ 。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 10

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [- t]$ 相加。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t] + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 12

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t]) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 14

合并分数。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 14.2

组合 $\frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{t \cdot - 1}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 14.3

化简表达式。

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解题步骤 14.3.1

将 $- 1$ 移到 $t$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 14.3.2

将 $- 1 t$ 重写为 $- t$ 。

$\frac{- t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 14.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 16

将 ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 17

要将 ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 18

组合 ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 19

在公分母上合并分子。

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20

通过指数相加将 ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 20.1

移动 ${(4 - t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} {(4 - t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- t + {(4 - t)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 20.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{- t + {(4 - t)}^{1} \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 21

化简 ${(4 - t)}^{1} \cdot 2$ 。

$\frac{- t + (4 - t) \cdot 2}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22

将 $2$ 移到 $4 - t$ 的左侧。

$\frac{- t + 2 \cdot (4 - t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23

化简。

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解题步骤 23.1

运用分配律。

$\frac{- t + 2 \cdot 4 + 2 (- t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.2

化简分子。

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解题步骤 23.2.1

化简每一项。

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解题步骤 23.2.1.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- t + 8 + 2 (- t)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- t + 8 - 2 t}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.2.2

从 $- t$ 中减去 $2 t$ 。

$\frac{- 3 t + 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.3

从 $- 3 t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 t) + 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.4

将 $8$ 重写为 $- 1 (- 8)$ 。

$\frac{- (3 t) - 1 (- 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.5

从 $- (3 t) - 1 (- 8)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 t - 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.6

将 $- (3 t - 8)$ 重写为 $- 1 (3 t - 8)$ 。

$\frac{- 1 (3 t - 8)}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 t - 8}{2 {(4 - t)}^{\frac{1}{2}}}$

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