微积分学示例

$\ln (x^{2} - 1) = 3$

解题步骤 1

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{2} - 1)} = e^{3}$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\ln (x^{2} - 1) = 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{3} = x^{2} - 1$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $x^{2} - 1 = e^{3}$ 。

$x^{2} - 1 = e^{3}$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{2} = e^{3} + 1$

解题步骤 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1}$

解题步骤 3.4

化简 $\pm \sqrt{e^{3} + 1}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1^{3}}$

解题步骤 3.4.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = e$ 和 $b = 1$ 。

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.4.3

化简。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1^{2})}$

解题步骤 3.4.3.2

一的任意次幂都为一。

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

小数形式：

$x = 4.59189905 \dots, - 4.59189905 \dots$

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