微积分学示例

$\ln (\tan (x))$

解题步骤 1

求渐近线。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

对于任意

$y = \tan (x)$ ，垂直渐近线均出现在

$x = \frac{π}{2} + n π$ 处，其中

$n$ 为一个整数。使用

$y = \tan (x)$ 、

$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 的基本周期求

$y = \ln (\tan (x))$ 的垂直渐近线。将

$y = a \tan (b x + c) + d$ 的正切函数的变量

$b x + c$ 设为等于

$- \frac{π}{2}$ ，以求

$y = \ln (\tan (x))$ 的垂直渐近线出现的位置。

$\tan (x) = - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2

求解

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的

$x$ 。

$x = \arctan (- \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

计算

$\arctan (- \frac{π}{2})$ 。

$x = - 1.00388482$

解题步骤 1.2.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从

$π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - 1.00388482 - (3.14159265)$

解题步骤 1.2.4

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

将

$2 π$ 加上

$- 1.00388482 - (3.14159265)$ 。

$x = - 1.00388482 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 1.2.4.2

得出的角

$2.13770783$ 是正角度且与

$- 1.00388482 - (3.14159265)$ 共边。

$x = 2.13770783$

解题步骤 1.2.5

求

$\tan (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1

函数的周期可利用

$\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 1.2.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.2.5.4

用

$π$ 除以

$1$ 。

$π$

解题步骤 1.2.6

将

$π$ 和每一个负角相加以得出正角。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.6.1

将

$π$ 加到

$- 1.00388482$ 以求正角。

$- 1.00388482 + π$

解题步骤 1.2.6.2

使用小数的近似值替换。

$3.14159265 - 1.00388482$

解题步骤 1.2.6.3

从

$3.14159265$ 中减去

$1.00388482$ 。

$2.13770783$

解题步骤 1.2.6.4

列出新角。

$x = 2.13770783$

解题步骤 1.2.7

$\tan (x)$ 函数的周期为

$π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.13770783 + π n, 2.13770783 + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 1.2.8

将

$2.13770783 + π n$ 和

$2.13770783 + π n$ 合并为

$2.13770783 + π n$ 。

$x = 2.13770783 + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 2.13770783 + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 1.3

使正切函数内的

$\tan (x)$ 等于

$\frac{π}{2}$ 。

$\tan (x) = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.4

求解

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的

$x$ 。

$x = \arctan (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.1

计算

$\arctan (\frac{π}{2})$ 。

$x = 1.00388482$

解题步骤 1.4.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自

$π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

解题步骤 1.4.4

求解

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 1.00388482$

解题步骤 1.4.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

解题步骤 1.4.4.3

将

$3.14159265$ 和

$1.00388482$ 相加。

$x = 4.14547747$

解题步骤 1.4.5

求

$\tan (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.5.1

函数的周期可利用

$\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 1.4.5.2

使用周期公式中的

$1$ 替换

$b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 1.4.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.4.5.4

用

$π$ 除以

$1$ 。

$π$

解题步骤 1.4.6

$\tan (x)$ 函数的周期为

$π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

$π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.00388482 + π n, 4.14547747 + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 1.4.7

将

$1.00388482 + π n$ 和

$4.14547747 + π n$ 合并为

$1.00388482 + π n$ 。

$x = 1.00388482 + π n$ ，对于任意整数

$n$

$x = 1.00388482 + π n$ ，对于任意整数

$n$

解题步骤 1.5

$y = \ln (\tan (x))$ 的基期将出现在

$(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$ ，其中

$2.13770783 + π n$ 和

$1.00388482 + π n$ 为垂直渐近线。

$(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$

解题步骤 1.6

求周期

$\frac{π}{| b |}$ 以确定垂直渐近线的位置。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$1$ 之间的距离为

$1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.6.2

用

$π$ 除以

$1$ 。

$π$

解题步骤 1.7

$y = \ln (\tan (x))$ 的垂直渐近线出现在

$2.13770783 + π n$ 、

$1.00388482 + π n$ 以及每一个

$π n$ ，其中

$n$ 是一个整数。

$π n$

解题步骤 1.8

正切和余切函数只有垂直渐近线。

垂直渐近线：任何整数

$n$ 的

$x = 2.13770783 + π n + π n$

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线：任何整数

$n$ 的

$x = 2.13770783 + π n + π n$

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

解题步骤 2

求在

$x = 1$ 处的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用表达式中的

$1$ 替换变量

$x$ 。

$f (1) = \ln (\tan (1))$

解题步骤 2.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

计算

$\tan (1)$ 。

$f (1) = \ln (1.55740772)$

解题步骤 2.2.2

最终答案为

$\ln (1.55740772)$ 。

$\ln (1.55740772)$

解题步骤 3

求在

$x = 4$ 处的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用表达式中的

$4$ 替换变量

$x$ 。

$f (4) = \ln (\tan (4))$

解题步骤 3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

计算

$\tan (4)$ 。

$f (4) = \ln (1.15782128)$

解题步骤 3.2.2

最终答案为

$\ln (1.15782128)$ 。

$\ln (1.15782128)$

解题步骤 4

求在

$x = 7$ 处的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的

$7$ 替换变量

$x$ 。

$f (7) = \ln (\tan (7))$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

计算

$\tan (7)$ 。

$f (7) = \ln (0.87144798)$

解题步骤 4.2.2

最终答案为

$\ln (0.87144798)$ 。

$\ln (0.87144798)$

解题步骤 5

可以使用

$x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ 处的垂直渐近线和点

$(1, 0.44302272), (4, 0.14654003), (7, - 0.1375991)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线：

$x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.443 \\ 4 & 0.147 \\ 7 & - 0.138 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例