微积分学示例

$\ln (\tan (x))$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

对于任意 $y = \tan (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = \frac{π}{2} + n π$ 处，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = \tan (x)$ 、 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 的基本周期求 $y = \ln (\tan (x))$ 的垂直渐近线。将 $y = a \tan (b x + c) + d$ 的正切函数的变量 $b x + c$ 设为等于 $- \frac{π}{2}$ ，以求 $y = \ln (\tan (x))$ 的垂直渐近线出现的位置。

$\tan (x) = - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.1

计算 $\arctan (- \frac{π}{2})$ 。

$x = - 1.00388482$

解题步骤 1.2.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - 1.00388482 - (3.14159265)$

解题步骤 1.2.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $2 π$ 加上 $- 1.00388482 - (3.14159265)$ 。

$x = - 1.00388482 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 1.2.4.2

得出的角 $2.13770783$ 是正角度且与 $- 1.00388482 - (3.14159265)$ 共边。

$x = 2.13770783$

解题步骤 1.2.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 1.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.2.6

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $π$ 加到 $- 1.00388482$ 以求正角。

$- 1.00388482 + π$

解题步骤 1.2.6.2

使用小数的近似值替换。

$3.14159265 - 1.00388482$

解题步骤 1.2.6.3

从 $3.14159265$ 中减去 $1.00388482$ 。

$2.13770783$

解题步骤 1.2.6.4

列出新角。

$x = 2.13770783$

解题步骤 1.2.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.13770783 + π n, 2.13770783 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.8

将 $2.13770783 + π n$ 和 $2.13770783 + π n$ 合并为 $2.13770783 + π n$ 。

$x = 2.13770783 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

使正切函数内的 $\tan (x)$ 等于 $\frac{π}{2}$ 。

$\tan (x) = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

计算 $\arctan (\frac{π}{2})$ 。

$x = 1.00388482$

解题步骤 1.4.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

解题步骤 1.4.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 1.00388482$

解题步骤 1.4.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

解题步骤 1.4.4.3

将 $3.14159265$ 和 $1.00388482$ 相加。

$x = 4.14547747$

解题步骤 1.4.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.4.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 1.4.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 1.4.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.4.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.4.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.00388482 + π n, 4.14547747 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.4.7

将 $1.00388482 + π n$ 和 $4.14547747 + π n$ 合并为 $1.00388482 + π n$ 。

$x = 1.00388482 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.5

$y = \ln (\tan (x))$ 的基期将出现在 $(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$ ，其中 $2.13770783 + π n$ 和 $1.00388482 + π n$ 为垂直渐近线。

$(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$

解题步骤 1.6

求周期 $\frac{π}{| b |}$ 以确定垂直渐近线的位置。

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解题步骤 1.6.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.6.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.7

$y = \ln (\tan (x))$ 的垂直渐近线出现在 $2.13770783 + π n$ 、 $1.00388482 + π n$ 以及每一个 $π n$ ，其中 $n$ 是一个整数。

$π n$

解题步骤 1.8

正切和余切函数只有垂直渐近线。

垂直渐近线：任何整数 $n$ 的 $x = 2.13770783 + π n + π n$

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线：任何整数 $n$ 的 $x = 2.13770783 + π n + π n$

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

解题步骤 2

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \ln (\tan (1))$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

计算 $\tan (1)$ 。

$f (1) = \ln (1.55740772)$

解题步骤 2.2.2

最终答案为 $\ln (1.55740772)$ 。

$\ln (1.55740772)$

解题步骤 3

求在 $x = 4$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = \ln (\tan (4))$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

计算 $\tan (4)$ 。

$f (4) = \ln (1.15782128)$

解题步骤 3.2.2

最终答案为 $\ln (1.15782128)$ 。

$\ln (1.15782128)$

解题步骤 4

求在 $x = 7$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f (7) = \ln (\tan (7))$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\tan (7)$ 。

$f (7) = \ln (0.87144798)$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $\ln (0.87144798)$ 。

$\ln (0.87144798)$

解题步骤 5

可以使用 $x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ 处的垂直渐近线和点 $(1, 0.44302272), (4, 0.14654003), (7, - 0.1375991)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.443 \\ 4 & 0.147 \\ 7 & - 0.138 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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