微积分学示例

$y = x$ , $y = \sqrt[4]{x}$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x = \sqrt[4]{x}$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $x = \sqrt[4]{x}$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为根式位于方程的右边，所以要交换两边以便使其位于方程的左边。

$\sqrt[4]{x} = x$

解题步骤 1.2.2

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $4$ 次幂。

${\sqrt[4]{x}}^{4} = x^{4}$

解题步骤 1.2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

解题步骤 1.2.3.2.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

解题步骤 1.2.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = x^{4}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

化简。

$x = x^{4}$

解题步骤 1.2.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

从等式两边同时减去 $x^{4}$ 。

$x - x^{4} = 0$

解题步骤 1.2.4.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.4.2.1

从 $x - x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x - x^{4} = 0$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

从 $- x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

从 $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (1 - x^{3}) = 0$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

解题步骤 1.2.4.2.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

解题步骤 1.2.4.2.4

因数。

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解题步骤 1.2.4.2.4.1

化简。

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解题步骤 1.2.4.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

解题步骤 1.2.4.2.4.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

解题步骤 1.2.4.2.4.2

去掉多余的括号。

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0 + y = \sqrt[4]{x}$

解题步骤 1.2.4.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.4.5

将 $1 - x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.5.1

将 $1 - x$ 设为等于 $0$ 。

$1 - x = 0$

解题步骤 1.2.4.5.2

求解 $x$ 的 $1 - x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x = - 1$

解题步骤 1.2.4.5.2.2

将 $- x = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.4.5.2.2.1

将 $- x = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.4.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.4.5.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.4.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.5.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.4.6

将 $1 + x + x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.6.1

将 $1 + x + x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$1 + x + x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.4.6.2

求解 $x$ 的 $1 + x + x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = \sqrt[4]{x}$

解题步骤 1.2.4.6.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1} + y = \sqrt[4]{x}$

解题步骤 1.2.4.6.2.3

化简。

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解题步骤 1.2.4.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.6.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 1.2.4.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.6.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.4.6.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.6.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 1.2.4.6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.4.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.4.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.6.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.6.2.4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.6.2.4.5

从 $i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 1.2.4.6.2.4.6

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 1.2.4.6.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.6.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 1.2.4.6.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.6.2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 1.2.4.6.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.5.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.6.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.6.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.6.2.5.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.6.2.5.5

从 $- i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 1.2.4.6.2.5.6

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 1.2.4.6.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.6.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.2.4.7

最终解为使 $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.3

当 $x = 0$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$y = \sqrt[4]{0}$

解题步骤 1.3.2

化简 $\sqrt[4]{0}$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$y = \sqrt[4]{0}$

解题步骤 1.3.2.2

将 $0$ 重写为 $0^{4}$ 。

$y = \sqrt[4]{0^{4}}$

解题步骤 1.3.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = 0$

解题步骤 1.4

当 $x = 1$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.4.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = \sqrt[4]{1}$

解题步骤 1.4.2

化简 $\sqrt[4]{1}$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

去掉圆括号。

$y = \sqrt[4]{1}$

解题步骤 1.4.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 1.5

当 $x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.5.1

代入 $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ 替换 $x$ 。

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 1.5.2

去掉圆括号。

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 1.6

当 $x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.6.1

代入 $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ 替换 $x$ 。

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 1.6.2

去掉圆括号。

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 1.7

列出所有解。

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2

给定曲线之间的面积无界。

无界区域

解题步骤 3

微积分学 示例

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