微积分学示例

$f (x) = x e^{- x^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.7.2

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

解题步骤 1.9

将 $e^{- x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

解题步骤 1.10

化简。

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解题步骤 1.10.1

重新排序项。

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

解题步骤 1.10.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.8.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.2.9

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})$

解题步骤 2.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

解题步骤 2.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 2.4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 (e^{- x^{2}} (x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

解题步骤 2.4.2.3

移动 $e^{- x^{2}}$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 x e^{- x^{2}} - 2 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.4.2.4

从 $- 4 x e^{- x^{2}}$ 中减去 $2 x e^{- x^{2}}$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$

解题步骤 2.4.4

将 $4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x^{2}}$ 。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $- x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.7

化简表达式。

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解题步骤 4.1.7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.7.2

将 $- 2$ 移到 $e^{- x^{2}}$ 的左侧。

$f' (x) = x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

解题步骤 4.1.9

将 $e^{- x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

解题步骤 4.1.10

化简。

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解题步骤 4.1.10.1

重新排序项。

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

解题步骤 4.1.10.2

将 $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ 。

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

从 $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ 中分解出因数 $e^{- x^{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ 中分解出因数 $e^{- x^{2}}$ 。

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} = 0$

解题步骤 5.2.2

乘以 $1$ 。

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} \cdot 1 = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{- x^{2}}$ 。

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- x^{2}} = 0$

$- 2 x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 5.4

将 $e^{- x^{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $e^{- x^{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x^{2}} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $e^{- x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 5.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.4.2.3

$e^{- x^{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.5

将 $- 2 x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $- 2 x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- 2 x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $- 2 x^{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 x^{2} = - 1$

解题步骤 5.5.2.2

将 $- 2 x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将 $- 2 x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.5.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 5.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.5.2.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 5.5.2.4.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $e^{- x^{2}} (- 2 x^{2} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.2

化简分子。

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解题步骤 9.1.2.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$4 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.2.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 9.1.2.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.2.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.2.4

从根式下提出各项。

$4 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{2 \sqrt{2}}{4 (2)} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.4.2

约去公因数。

$4 \frac{2 \sqrt{2}}{4 \cdot 2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.4.3

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.5.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.5.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.6

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{2} e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 9.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{2} e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.7.4.1

约去公因数。

$\sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.7.4.2

重写表达式。

$\sqrt{2} e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.7.5

计算指数。

$\sqrt{2} e^{- \frac{2}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{2} e^{- \frac{2}{4}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.9

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.9.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{2} e^{- \frac{2 (1)}{4}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.9.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.9.2.2

约去公因数。

$\sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.9.2.3

重写表达式。

$\sqrt{2} e^{- \frac{1}{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.11

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.12.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 2 (- 3) \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.12.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.12.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 9.1.13

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.14

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 9.1.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.14.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.14.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.14.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.14.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 9.1.15

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2}{4}}$

解题步骤 9.1.16

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.16.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 9.1.16.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.16.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 9.1.16.2.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 9.1.16.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 9.1.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.1.18

乘以 $- 3 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 9.1.18.1

组合 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{2}$

解题步骤 9.1.18.2

组合 $\frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.1.19

将负号移到分数的前面。

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2

化简项。

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解题步骤 9.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2} - 3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.2

从 $\sqrt{2}$ 中减去 $3 \sqrt{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 11.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.2.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{4}}$

解题步骤 11.2.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 11.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 11.2.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 11.2.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 11.2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.6

合并。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.7

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 11.2.8

最终答案为 $\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$ 。

$y = \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$4 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.1.1.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.1.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.3

化简分子。

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解题步骤 13.1.3.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$4 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.3.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 13.1.3.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.3.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.3.4

从根式下提出各项。

$4 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.5.1

将 $- \frac{2 \sqrt{2}}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$4 \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.5.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 (2)} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.5.3

约去公因数。

$4 \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 \cdot 2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.5.4

重写表达式。

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.6

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.6.1

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{2}}{1} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.6.2.4

用 $- \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- \sqrt{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.1.7.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- \sqrt{2} e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.7.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- \sqrt{2} e^{- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.8

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.8.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$- \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.8.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 13.1.8.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.8.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.9

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \sqrt{2} e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.10

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 13.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \sqrt{2} e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.10.4.1

约去公因数。

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.10.4.2

重写表达式。

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.10.5

计算指数。

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2}{4}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.12

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.12.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2 (1)}{4}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.12.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.12.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.12.2.2

约去公因数。

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.12.2.3

重写表达式。

$- \sqrt{2} e^{- \frac{1}{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.14

组合 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.15.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.15.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 2 (- 3) \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.15.3

约去公因数。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot - 3 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.15.4

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \sqrt{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.16

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 13.1.17

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.1.17.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

解题步骤 13.1.17.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 13.1.18

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 13.1.18.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.18.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 13.1.18.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.18.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.18.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.19

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.20

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 13.1.20.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.20.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.20.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.20.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.20.4.1

约去公因数。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.20.4.2

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.20.5

计算指数。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 13.1.21

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2}{4}}$

解题步骤 13.1.22

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.22.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 13.1.22.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.22.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 13.1.22.2.2

约去公因数。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 13.1.22.2.3

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 13.1.23

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13.1.24

乘以 $3 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 13.1.24.1

组合 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 和 $3$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{2}$

解题步骤 13.1.24.2

组合 $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13.2

化简项。

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解题步骤 13.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13.2.2

将 $- \sqrt{2}$ 和 $3 \sqrt{2}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

解题步骤 15.2.1.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

解题步骤 15.2.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.2.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 15.2.2.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 15.2.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

解题步骤 15.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 15.2.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 15.2.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 15.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.4.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.4.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.4.5

计算指数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 15.2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{4}}$

解题步骤 15.2.6

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 15.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 15.2.6.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 15.2.6.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 15.2.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.2.8

将 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 15.2.9

将 $2$ 移到 $e^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.2.10

最终答案为 $- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = x e^{- x^{2}}$ 的局部极值。

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}})$ 是一个局部最大值

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}})$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例