微积分学示例

$x y + x + y = x^{2} y^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x y + x + y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{2})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x y + x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x y' + y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y + 1 + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y + 1 + y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

解题步骤 3.6

将 $2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x y' + y + 1 + y' = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $2 x^{2} y y'$ 。

$x y' + y + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x y' + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y$

解题步骤 5.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x y' + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

解题步骤 5.3

从 $x y' + y' - 2 x^{2} y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

解题步骤 5.3.2

对 $y'$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

解题步骤 5.3.3

从 ${y'}^{1}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x + y' \cdot 1 - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

解题步骤 5.3.4

从 $- 2 x^{2} y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x) + y' \cdot 1 + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

解题步骤 5.3.5

从 $y' x + y' \cdot 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

解题步骤 5.3.6

从 $y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

解题步骤 5.4

将 $y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ 中的每一项除以 $x + 1 - 2 x^{2} y$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ 中的每一项都除以 $x + 1 - 2 x^{2} y$ 。

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $x + 1 - 2 x^{2} y$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

解题步骤 5.4.3.2

合并为一个分式。

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解题步骤 5.4.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{2 y^{2} x - y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

解题步骤 5.4.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

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