微积分学示例

$x (7 + 2 x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 7 + 2 x$ 。

$x \frac{d}{d x} [7 + 2 x] + (7 + 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $7 + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (7 + 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + (7 + 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 相加。

$x \frac{d}{d x} [2 x] + (7 + 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (2 \frac{d}{d x} [x]) + (7 + 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (2 \cdot 1) + (7 + 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x \cdot 2 + (7 + 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 \cdot x + (7 + 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + (7 + 2 x) \cdot 1$

解题步骤 2.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.8.1

将 $7 + 2 x$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 7 + 2 x$

解题步骤 2.8.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$4 x + 7$

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