微积分学示例

$lim_{x \to 81} \frac{\sqrt{x} - 9}{x - 81}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 81} \sqrt{x} - 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当

$x$ 趋于

$81$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 81} \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

解题步骤 1.1.2.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 81} x} - lim_{x \to 81} 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

解题步骤 1.1.2.1.3

计算

$9$ 的极限值，当

$x$ 趋近于

$81$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 81} x} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

解题步骤 1.1.2.2

将

$81$ 代入

$x$ 来计算

$x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{81} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将

$81$ 重写为

$9^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{9^{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

解题步骤 1.1.2.3.1.3

将

$- 1$ 乘以

$9$ 。

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从

$9$ 中减去

$9$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 81}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当

$x$ 趋于

$81$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - lim_{x \to 81} 81}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算

$81$ 的极限值，当

$x$ 趋近于

$81$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 1 \cdot 81}$

解题步骤 1.1.3.2

将

$81$ 代入

$x$ 来计算

$x$ 的极限值。

$\frac{0}{81 - 1 \cdot 81}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将

$- 1$ 乘以

$81$ 。

$\frac{0}{81 - 81}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从

$81$ 中减去

$81$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母

$0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为

$\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 81} \frac{\sqrt{x} - 9}{x - 81} = lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则，

$\sqrt{x} - 9$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.3

计算

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{x}$ 重写成

$x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.3.3

要将

$- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.3.4

组合

$- 1$ 和

$\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.3.5

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.6.1

将

$- 1$ 乘以

$2$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.3.6.2

从

$1$ 中减去

$2$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.3.7

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.4

因为

$- 9$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 9$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.5

化简。

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解题步骤 1.3.5.1

使用负指数规则

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.5.2

合并项。

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解题步骤 1.3.5.2.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.5.2.2

将

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 和

$0$ 相加。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则，

$x - 81$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 81]}$

解题步骤 1.3.8

因为

$- 81$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 81$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.9

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 81} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将

$x^{\frac{1}{2}}$ 重写为

$\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

解题步骤 1.6

将

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以

$1$ 。

$lim_{x \to 81} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项

$\frac{1}{2}$ 对于

$x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 81} \frac{1}{\sqrt{x}}$

解题步骤 2.2

当

$x$ 趋于

$81$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 81} 1}{lim_{x \to 81} \sqrt{x}}$

解题步骤 2.3

计算

$1$ 的极限值，当

$x$ 趋近于

$81$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 81} \sqrt{x}}$

解题步骤 2.4

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 81} x}}$

解题步骤 3

将

$81$ 代入

$x$ 来计算

$x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{81}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将

$81$ 重写为

$9^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9^{2}}}$

解题步骤 4.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$

解题步骤 4.2

乘以

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$ 。

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解题步骤 4.2.1

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{1}{9}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 9}$

解题步骤 4.2.2

将

$2$ 乘以

$9$ 。

$\frac{1}{18}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{18}$

小数形式：

$0.0\overline{5}$

微积分学 示例

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