微积分学示例

$\int_{1}^{7} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{\ln (x^{2})}{x^{3}}$ 重写为 $\frac{2 \ln (x)}{x^{3}}$ 。

$\int_{1}^{7} \frac{2 \ln (x)}{x^{3}} d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{1}^{7} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{- 3} d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x^{- 3}$ 。

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x)$

解题步骤 5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x)$

解题步骤 5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x)$

解题步骤 5.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - - \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + 1 \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

解题步骤 7.2

将 $\int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ 乘以 $1$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

解题步骤 9

应用指数的基本规则。

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解题步骤 9.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x)$

解题步骤 9.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x)$

解题步骤 9.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{- 3} d x)$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{7})$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简。

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解题步骤 11.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7})$

解题步骤 11.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}$ 。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}}{2})$

解题步骤 11.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

解题步骤 11.2

代入并化简。

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解题步骤 11.2.1

计算 $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ 在 $7$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

解题步骤 11.2.2

计算 $- \frac{1}{2 x^{2}}$ 在 $7$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

解题步骤 11.2.3

化简。

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解题步骤 11.2.3.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 49} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

解题步骤 11.2.3.2

将 $2$ 乘以 $49$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

解题步骤 11.2.3.3

一的任意次幂都为一。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

解题步骤 11.2.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

解题步骤 11.2.3.5

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

解题步骤 11.2.3.6

将 $2$ 乘以 $49$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

解题步骤 11.2.3.7

一的任意次幂都为一。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1}}{2})$

解题步骤 11.2.3.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2}}{2})$

解题步骤 11.2.3.9

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{49}{49}$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{49}}{2})$

解题步骤 11.2.3.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $98$ 的形式。

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解题步骤 11.2.3.10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{49}{49}$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{2 \cdot 49}}{2})$

解题步骤 11.2.3.10.2

将 $2$ 乘以 $49$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{98}}{2})$

解题步骤 11.2.3.11

在公分母上合并分子。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{- 1 + 49}{98}}{2})$

解题步骤 11.2.3.12

将 $- 1$ 和 $49$ 相加。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{48}{98}}{2})$

解题步骤 11.2.3.13

约去 $48$ 和 $98$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.13.1

从 $48$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 (24)}{98}}{2})$

解题步骤 11.2.3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.3.13.2.1

从 $98$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

解题步骤 11.2.3.13.2.2

约去公因数。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

解题步骤 11.2.3.13.2.3

重写表达式。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{24}{49}}{2})$

解题步骤 11.2.3.14

将 $\frac{\frac{24}{49}}{2}$ 重写为乘积形式。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 11.2.3.15

将 $\frac{24}{49}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49 \cdot 2})$

解题步骤 11.2.3.16

将 $49$ 乘以 $2$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{98})$

解题步骤 11.2.3.17

约去 $24$ 和 $98$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.17.1

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 (12)}{98})$

解题步骤 11.2.3.17.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.3.17.2.1

从 $98$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

解题步骤 11.2.3.17.2.2

约去公因数。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

解题步骤 11.2.3.17.2.3

重写表达式。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{12}{49})$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{0}{2} + \frac{12}{49})$

解题步骤 12.1.2

用 $0$ 除以 $2$ 。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + 0 + \frac{12}{49})$

解题步骤 12.2

将 $- \frac{\ln (7)}{98}$ 和 $0$ 相加。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{12}{49})$

解题步骤 12.3

运用分配律。

$2 (- \frac{\ln (7)}{98}) + 2 (\frac{12}{49})$

解题步骤 12.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.4.1

将 $- \frac{\ln (7)}{98}$ 中前置负号移到分子中。

$2 \frac{- \ln (7)}{98} + 2 (\frac{12}{49})$

解题步骤 12.4.2

从 $98$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{- \ln (7)}{2 (49)} + 2 (\frac{12}{49})$

解题步骤 12.4.3

约去公因数。

$2 \frac{- \ln (7)}{2 \cdot 49} + 2 (\frac{12}{49})$

解题步骤 12.4.4

重写表达式。

$\frac{- \ln (7)}{49} + 2 (\frac{12}{49})$

解题步骤 12.5

乘以 $2 (\frac{12}{49})$ 。

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解题步骤 12.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{12}{49}$ 。

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{2 \cdot 12}{49}$

解题步骤 12.5.2

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

解题步骤 12.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

小数形式：

$0.45008346 \dots$

微积分学 示例

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