微积分学示例

$\int \frac{5 x^{5} + 5 x^{2} + 10}{x^{3} - x} d x$

解题步骤 1

用 $5 x^{5} + 5 x^{2} + 10$ 除以 $x^{3} - x$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $5 x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{3}$ 。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x^{5} + 0 - 5 x^{3} + 0$ 中的所有符号

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $5 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{3}$ 。

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x^{3} + 0 - 5 x + 0$ 中的所有符号

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10$

解题步骤 1.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 5 x^{2} + 5 + \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

解题步骤 3

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

解题步骤 7

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 7.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 7.1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 7.1.1.1

从 $5 x^{2} + 5 x + 10$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 7.1.1.1.1

从 $5 x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 10}{x^{3} - x}$

解题步骤 7.1.1.1.2

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (x) + 10}{x^{3} - x}$

解题步骤 7.1.1.1.3

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

解题步骤 7.1.1.1.4

从 $5 (x^{2}) + 5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

解题步骤 7.1.1.1.5

从 $5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x^{3} - x}$

解题步骤 7.1.1.2

从 $x^{3} - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.1.1.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} - x}$

解题步骤 7.1.1.2.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

解题步骤 7.1.1.2.3

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1)}$

解题步骤 7.1.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1^{2})}$

解题步骤 7.1.1.4

因数。

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解题步骤 7.1.1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x ((x + 1) (x - 1))}$

解题步骤 7.1.1.4.2

去掉多余的括号。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 7.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

解题步骤 7.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

解题步骤 7.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x + 1) (x - 1)$ 。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.5.1

约去公因数。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.5.2

重写表达式。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.6

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.6.1

约去公因数。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.6.2

重写表达式。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.7

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.7.1

约去公因数。

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.7.2

用 $5 (x^{2} + x + 2)$ 除以 $1$ 。

$5 (x^{2} + x + 2) = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.8

运用分配律。

$5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.9

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10

化简每一项。

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解题步骤 7.1.10.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.10.1.1

约去公因数。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.1.2

用 $A ((x + 1) (x - 1))$ 除以 $1$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 7.1.10.2.1

运用分配律。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.2.2

运用分配律。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.2.3

运用分配律。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.1.10.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.10.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.3.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.3.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.3.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.4

运用分配律。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.5

将 $- 1$ 移到 $A$ 的左侧。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.6

将 $- 1 A$ 重写为 $- A$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.7

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.10.7.1

约去公因数。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.7.2

用 $(B) (x (x - 1))$ 除以 $1$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.8

运用分配律。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.9

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.10

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.11

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.12

运用分配律。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.13

使用乘法的交换性质重写。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.14

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.10.14.1

约去公因数。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 7.1.10.14.2

用 $(C) (x (x + 1))$ 除以 $1$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

解题步骤 7.1.10.15

运用分配律。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

解题步骤 7.1.10.16

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

解题步骤 7.1.10.17

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

解题步骤 7.1.10.18

运用分配律。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

解题步骤 7.1.11

化简表达式。

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解题步骤 7.1.11.1

移动 $B$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

解题步骤 7.1.11.2

移动 $- A$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

解题步骤 7.1.11.3

移动 $- x B$ 。

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

解题步骤 7.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 7.2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$5 = A + B + C$

解题步骤 7.2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$5 = - 1 B + C$

解题步骤 7.2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$10 = - 1 A$

解题步骤 7.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

解题步骤 7.3

求解方程组。

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解题步骤 7.3.1

在 $10 = - 1 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 7.3.1.1

将方程重写为 $- 1 A = 10$ 。

$- 1 A = 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

解题步骤 7.3.1.2

将 $- 1 A = 10$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.3.1.2.1

将 $- 1 A = 10$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

解题步骤 7.3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{A}{1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

解题步骤 7.3.1.2.2.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

解题步骤 7.3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1.2.3.1

用 $10$ 除以 $- 1$ 。

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

解题步骤 7.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- 10$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

使用 $- 10$ 替换 $5 = A + B + C$ 中所有出现的 $A$ .

$5 = (- 10) + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

解题步骤 7.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.3.2.2.1

去掉圆括号。

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

解题步骤 7.3.3

在 $5 = - 10 + B + C$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 7.3.3.1

将方程重写为 $- 10 + B + C = 5$ 。

$- 10 + B + C = 5$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

解题步骤 7.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.3.3.2.1

在等式两边都加上 $10$ 。

$B + C = 5 + 10$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

解题步骤 7.3.3.2.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$B = 5 + 10 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

解题步骤 7.3.3.2.3

将 $5$ 和 $10$ 相加。

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

解题步骤 7.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $15 - C$ 。

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解题步骤 7.3.4.1

使用 $15 - C$ 替换 $5 = - 1 B + C$ 中所有出现的 $B$ .

$5 = - 1 (15 - C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 7.3.4.2.1

化简 $- 1 (15 - C) + C$ 。

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解题步骤 7.3.4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.4.2.1.1.1

运用分配律。

$5 = - 1 \cdot 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.4.2.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$5 = - 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.4.2.1.1.3

乘以 $- 1 (- C)$ 。

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解题步骤 7.3.4.2.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$5 = - 15 + 1 C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.4.2.1.1.3.2

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.4.2.1.2

将 $C$ 和 $C$ 相加。

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.5

在 $5 = - 15 + 2 C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 7.3.5.1

将方程重写为 $- 15 + 2 C = 5$ 。

$- 15 + 2 C = 5$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.5.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.3.5.2.1

在等式两边都加上 $15$ 。

$2 C = 5 + 15$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.5.2.2

将 $5$ 和 $15$ 相加。

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.5.3

将 $2 C = 20$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.3.5.3.1

将 $2 C = 20$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.5.3.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.5.3.3.1

用 $20$ 除以 $2$ 。

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.6

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $10$ 。

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解题步骤 7.3.6.1

使用 $10$ 替换 $B = 15 - C$ 中所有出现的 $C$ .

$B = 15 - (10)$

$C = 10$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.6.2

化简右边。

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解题步骤 7.3.6.2.1

化简 $15 - (10)$ 。

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解题步骤 7.3.6.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$B = 15 - 10$

$C = 10$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.6.2.1.2

从 $15$ 中减去 $10$ 。

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

解题步骤 7.3.7

列出所有解。

$B = 5, C = 10, A = - 10$

解题步骤 7.4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$- \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}$

解题步骤 7.5

将负号移到分数的前面。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1} d x$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - \int \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

解题步骤 10

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - (10 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

解题步骤 11

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

解题步骤 12

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

解题步骤 13

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

解题步骤 14

使 $u_{1} = x + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 14.1

设 $u_{1} = x + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 14.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 14.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 14.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 14.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 14.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 14.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{10}{x - 1} d x$

解题步骤 15

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{10}{x - 1} d x$

解题步骤 16

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 17

使 $u_{2} = x - 1$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 17.1

设 $u_{2} = x - 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 17.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 17.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 17.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 17.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 17.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 17.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 18

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 19

化简。

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| u_{1} |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 20

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 20.1

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 20.2

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$

解题步骤 21

重新排序项。

$\frac{5}{3} x^{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$

微积分学 示例

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