微积分学示例

$\int (2 x - 1) \ln (7 x) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int 2 x \ln (7 x) - 1 \ln (7 x) d x$

解题步骤 1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (7 x)$ 。

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - 1 \ln (7 x) d x$

解题步骤 1.3

将 $- 1 \ln (7 x)$ 重写为 $- \ln (7 x)$ 。

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - \ln (7 x) d x$

解题步骤 1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1

对 $7 x$ 运用乘积法则。

$\int x \ln (7^{2} x^{2}) - \ln (7 x) d x$

解题步骤 1.4.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int x \ln (49 x^{2}) - \ln (7 x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x \ln (49 x^{2}) d x + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (49 x^{2})$ ， $d v = x$ 。

$\ln (49 x^{2}) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\ln (49 x^{2}) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 4.2

组合 $\ln (49 x^{2})$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{2}{x}$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 6.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 \cdot x^{2}}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 6.3

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 6.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 6.3.2.3

约去公因数。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 6.3.2.4

重写表达式。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 6.3.2.5

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int 2 x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 2 x d x + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 8.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 8.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 8.3.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 8.3.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - \int \ln (7 x) d x$

解题步骤 12

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (7 x)$ ， $d v = 1$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

解题步骤 13.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

约去公因数。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

解题步骤 13.2.2

重写表达式。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int d x)$

解题步骤 14

应用常数不变法则。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - (x + C))$

解题步骤 15

化简。

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln (7 x) x + x + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$\frac{1}{2} \ln (49 x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (7 x) x + x + C$

微积分学 示例

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