微积分学示例

$\int \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{1}{x}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ ，以便 $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{1}{x}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{1}{x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2}$

解题步骤 1.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - \cos (u) d u$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \cos (u) d u$

解题步骤 3

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$- (\sin (u) + C)$

解题步骤 4

化简。

$- \sin (u) + C$

解题步骤 5

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (\frac{1}{x}) + C$

微积分学 示例