微积分学示例

$\int \frac{5 x + 2}{2 x^{2} + 7 x - 4} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ 并且它们的和为 $b = 7$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} + 7 (x) - 4}$

解题步骤 1.1.1.1.2

把 $7$ 重写为 $- 1$ 加 $8$

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4}$

解题步骤 1.1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4}$

解题步骤 1.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{5 x + 2}{(2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4}$

解题步骤 1.1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{5 x + 2}{x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}$

解题步骤 1.1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{5 x + 2}{(2 x - 1) (x + 4)}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{2 x - 1}$

解题步骤 1.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$

解题步骤 1.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(2 x - 1) (x + 4)$ 。

$\frac{(5 x + 2) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.1.5

约去 $2 x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{(5 x + 2) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.1.5.2

重写表达式。

$\frac{(5 x + 2) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.1.6

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1

约去公因数。

$\frac{(5 x + 2) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.1.6.2

用 $5 x + 2$ 除以 $1$ 。

$5 x + 2 = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.1

约去 $2 x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.1.1

约去公因数。

$5 x + 2 = \frac{A (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.1.7.1.2

用 $(A) (x + 4)$ 除以 $1$ 。

$5 x + 2 = (A) (x + 4) + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.1.7.2

运用分配律。

$5 x + 2 = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.1.7.3

将 $4$ 移到 $A$ 的左侧。

$5 x + 2 = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.1.7.4

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.7.4.1

约去公因数。

$5 x + 2 = A x + 4 A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

解题步骤 1.1.7.4.2

用 $(B) (2 x - 1)$ 除以 $1$ 。

$5 x + 2 = A x + 4 A + (B) (2 x - 1)$

解题步骤 1.1.7.5

运用分配律。

$5 x + 2 = A x + 4 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

解题步骤 1.1.7.6

使用乘法的交换性质重写。

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x + B \cdot - 1$

解题步骤 1.1.7.7

将 $- 1$ 移到 $B$ 的左侧。

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x - 1 \cdot B$

解题步骤 1.1.7.8

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x - B$

解题步骤 1.1.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.8.1

移动 $B$ 。

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 x B - B$

解题步骤 1.1.8.2

移动 $4 A$ 。

$5 x + 2 = A x + 2 x B + 4 A - B$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$5 = A + 2 B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = 4 A - 1 B$

解题步骤 1.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$5 = A + 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

$5 = A + 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $5 = A + 2 B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $A + 2 B = 5$ 。

$A + 2 B = 5$

$2 = 4 A - 1 B$

解题步骤 1.3.1.2

从等式两边同时减去 $2 B$ 。

$A = 5 - 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $5 - 2 B$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $5 - 2 B$ 替换 $2 = 4 A - 1 B$ 中所有出现的 $A$ .

$2 = 4 (5 - 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简 $4 (5 - 2 B) - 1 B$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$2 = 4 \cdot 5 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$2 = 20 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.3

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$2 = 20 - 8 B - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

解题步骤 1.3.2.2.1.1.4

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$2 = 20 - 8 B - B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 8 B - B$

$A = 5 - 2 B$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

从 $- 8 B$ 中减去 $B$ 。

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

解题步骤 1.3.3

在 $2 = 20 - 9 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $20 - 9 B = 2$ 。

$20 - 9 B = 2$

$A = 5 - 2 B$

解题步骤 1.3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $20$ 。

$- 9 B = 2 - 20$

$A = 5 - 2 B$

解题步骤 1.3.3.2.2

从 $2$ 中减去 $20$ 。

$- 9 B = - 18$

$A = 5 - 2 B$

$- 9 B = - 18$

$A = 5 - 2 B$

解题步骤 1.3.3.3

将 $- 9 B = - 18$ 中的每一项除以 $- 9$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.3.1

将 $- 9 B = - 18$ 中的每一项都除以 $- 9$ 。

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

解题步骤 1.3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.3.2.1

约去 $- 9$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

解题步骤 1.3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

解题步骤 1.3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.3.3.1

用 $- 18$ 除以 $- 9$ 。

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

解题步骤 1.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $2$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $2$ 替换 $A = 5 - 2 B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 5 - 2 \cdot 2$

$B = 2$

解题步骤 1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

化简 $5 - 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.3.4.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$A = 5 - 4$

$B = 2$

解题步骤 1.3.4.2.1.2

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

解题步骤 1.3.5

列出所有解。

$A = 1, B = 2$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{1}{2 x - 1} + \frac{2}{x + 4}$

解题步骤 1.5

去掉表达式中的零。

$\int \frac{1}{2 x - 1} + \frac{2}{x + 4} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int \frac{2}{x + 4} d x$

解题步骤 3

使 $u_{1} = 2 x - 1$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 3.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 3.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

解题步骤 4.2

将 $2$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

解题步骤 6

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{x + 4} d x$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{x + 4} d x$

解题步骤 8

使 $u_{2} = x + 4$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{2} = x + 4$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $x + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 8.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 9

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 10

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 11.2

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 2 \ln (| x + 4 |) + C$

微积分学 示例

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