微积分学示例

$8 \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用勾股恒等式。

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 3

因式分解出 $\sin^{2} (t)$ 。

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 4

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (t)$ 重写成 $1 - \cos^{2} (t)$ 的形式。

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 5

使 $u = \cos (t)$ 。然后使 $d u = - \sin (t) d t$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = \cos (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\cos (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 5.1.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$- \sin (t)$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = \cos (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = \cos (0)$

解题步骤 5.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = \cos (t)$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 5.5

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$8 \int_{1}^{0} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

解题步骤 6

乘以 $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ 。

$8 \int_{1}^{0} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1 u^{2}$ 重写为 $- u^{2}$ 。

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 7.2

通过指数相加将 $u^{2}$ 乘以 $u^{2}$ 。

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解题步骤 7.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{4} d u$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$8 (\int_{1}^{0} - u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$8 (- \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$8 (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0})$

解题步骤 13

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $u^{5}$ 。

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $\frac{u^{3}}{3}$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$8 (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

解题步骤 14.2

计算 $\frac{u^{5}}{5}$ 在 $0$ 处和在 $1$ 处的值。

$8 (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3

化简。

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解题步骤 14.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$8 (- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.2

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$8 (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 14.3.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$8 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.2.2.2

约去公因数。

$8 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.2.2.3

重写表达式。

$8 (- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.2.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$8 (- (0 - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.3

一的任意次幂都为一。

$8 (- (0 - \frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.4

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{3}$ 。

$8 (- - \frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 (1 (\frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.6

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.8

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.8.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 (0)}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 14.3.8.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.8.2.2

约去公因数。

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.8.2.3

重写表达式。

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0}{1} - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.8.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$8 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1^{5}}{5})$

解题步骤 14.3.9

一的任意次幂都为一。

$8 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5})$

解题步骤 14.3.10

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{5}$ 。

$8 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

解题步骤 14.3.11

要将 $\frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$8 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

解题步骤 14.3.12

要将 $- \frac{1}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$8 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 14.3.13

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 14.3.13.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$8 (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 14.3.13.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$8 (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 14.3.13.3

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$8 (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

解题步骤 14.3.13.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$8 (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

解题步骤 14.3.14

在公分母上合并分子。

$8 \frac{5 - 3}{15}$

解题步骤 14.3.15

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$8 (\frac{2}{15})$

解题步骤 14.3.16

组合 $8$ 和 $\frac{2}{15}$ 。

$\frac{8 \cdot 2}{15}$

解题步骤 14.3.17

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16}{15}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{16}{15}$

小数形式：

$1.0\overline{6}$

带分数形式：

$1 \frac{1}{15}$

解题步骤 16

微积分学 示例

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