微积分学示例

$\int x^{3} \cos (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{3}$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$x^{3} \sin (x) - \int \sin (x) (3 x^{2}) d x$

解题步骤 2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$x^{3} \sin (x) - (3 \int \sin (x) (x^{2}) d x)$

解题步骤 3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} \sin (x) - 3 \int \sin (x) (x^{2}) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x)$

解题步骤 5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x)$

解题步骤 6

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x))$

解题步骤 7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x)$

解题步骤 8

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x))$

解题步骤 9

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)))$

解题步骤 10

将 $x^{3} \sin (x) - 3 (x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C)))$ 重写为 $x^{3} \sin (x) - 3 (- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C$ 。

$x^{3} \sin (x) - 3 (- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C$

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