微积分学示例

$\int x e^{\frac{x}{2}} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{\frac{x}{2}}$ 。

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} x} d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{x}{2}} d x)$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{\frac{x}{2}} d x$

解题步骤 4

使 $u = \frac{x}{2}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2} d x$ ，以便 $2 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = \frac{x}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\frac{x}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 4.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

解题步骤 5.3

将 $2$ 移到 $e^{u}$ 的左侧。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

解题步骤 7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

解题步骤 9

将 $x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ 重写为 $2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$ 。

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$

解题步骤 10

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$

微积分学 示例

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