微积分学示例

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = 2 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 2 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $2 \cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $2 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 4 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 $4 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(2 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

约去 $2 \cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

从 ${(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))$ 中分解出因数 $2 \cos (t)$ 。

$\int \frac{1}{2 \cos (t) ({(2 \sin (t))}^{2})} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.1.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{2 \cos (t) {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.1.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2}} d t$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $2 \sin (t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{1}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} d t$

解题步骤 2.2.2.2

对 $2 (\sin (t))$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{2^{2} \sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 2.2.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{4 \sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 4

将 $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ 转换成 $\csc^{2} (t)$ 。

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 5

因为 $- \cot (t)$ 的导数为 $\csc^{2} (t)$ ，所以 $\csc^{2} (t)$ 的积分为 $- \cot (t)$ 。

$\frac{1}{4} (- \cot (t) + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简。

$\frac{1}{4} (- \cot (t)) + C$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\cot (t)$ 。

$- \frac{\cot (t)}{4} + C$

解题步骤 7

使用 $\arcsin (\frac{x}{2})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \frac{\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))}{4} + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{x}{2})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))$ 为 $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ 。

$- \frac{\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

解题步骤 8.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{x}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.6

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.9

将 $\frac{2 + x}{2}$ 乘以 $\frac{2 - x}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.10

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.11

将 $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ 。

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解题步骤 8.1.11.1

从 $(2 + x) (2 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.11.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.11.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.12

从根式下提出各项。

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 。

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.14

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.14.1

约去公因数。

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.14.2

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.1.15

组合 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}}{4} + C$

解题步骤 8.2

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

解题步骤 8.3

将 $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x \cdot 4} + C$

解题步骤 8.4

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{4 x} + C$

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