微积分学示例

$\int 9 z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

解题步骤 1

由于 $9$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$9 \int z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

解题步骤 2

使 $u = 3 z^{2} - 7$ 。然后使 $d u = 6 z d z$ ，以便 $\frac{1}{6} d u = z d z$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 z^{2} - 7$ 。求 $\frac{d u}{d z}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 z^{2} - 7$ 求导。

$\frac{d}{d z} [3 z^{2} - 7]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $3 z^{2} - 7$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$ 。

$\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d z} [3 z^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $3$ 对于 $z$ 是常数，所以 $3 z^{2}$ 对 $z$ 的导数是 $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 z) + \frac{d}{d z} [- 7]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 z + \frac{d}{d z} [- 7]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $- 7$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$6 z + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $6 z$ 和 $0$ 相加。

$6 z$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{6} d u$

解题步骤 3

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{6} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$9 (\frac{1}{6} \int \sqrt{u} d u)$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $9$ 。

$\frac{9}{6} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.1.2

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (3)}{6} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.2.4

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.4.1

约去公因数。

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.2.4.2

重写表达式。

$1 u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 7.2.5

将 $u^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8

使用 $3 z^{2} - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(3 z^{2} - 7)}^{\frac{3}{2}} + C$

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