微积分学示例

$\int_{1}^{5} w^{2} \ln (w) d w$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (w)$ ， $d v = w^{2}$ 。

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $w^{3}$ 。

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

解题步骤 2.2

组合 $\ln (w)$ 和 $\frac{w^{3}}{3}$ 。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $w$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $w^{3}$ 和 $\frac{1}{w}$ 。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{3}}{w} d w)$

解题步骤 4.2

约去 $w^{3}$ 和 $w$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $w^{3}$ 中分解出因数 $w$ 。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

解题步骤 4.2.2.2

从 $w^{1}$ 中分解出因数 $w$ 。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

解题步骤 4.2.2.4

重写表达式。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{2}}{1} d w)$

解题步骤 4.2.2.5

用 $w^{2}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w$

解题步骤 5

根据幂法则， $w^{2}$ 对 $w$ 的积分是 $\frac{1}{3} w^{3}$ 。

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

解题步骤 6.2

计算 $\frac{1}{3} w^{3}$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\ln (5) \cdot 125}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.2

将 $125$ 移到 $\ln (5)$ 的左侧。

$\frac{125 \cdot \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.4

将 $\ln (1)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.5

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $125$ 。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

解题步骤 6.3.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

解题步骤 6.3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 6.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{125 - 1}{3}$

解题步骤 6.3.10

从 $125$ 中减去 $1$ 。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{124}{3}$

解题步骤 6.3.11

将 $\frac{124}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{3 \cdot 3}$

解题步骤 6.3.12

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{9}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

在公分母上合并分子。

$\frac{125 \ln (5) - \ln (1)}{3} + \frac{- 124}{9}$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{125 \ln (5) - 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

解题步骤 7.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{125 \ln (5) + 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

解题步骤 7.3

将 $125 \ln (5)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{125 \ln (5)}{3} + \frac{- 124}{9}$

解题步骤 7.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

小数形式：

$53.28213524 \dots$

微积分学 示例

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