微积分学示例

$\int_{0}^{1} x^{2} + \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ 和 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.4

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.7.1

约去公因数。

$\frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.7.2

重写表达式。

$1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.9

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $0$ 。

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.10

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 5.2.2.11

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 5.2.2.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.12.1

约去公因数。

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

解题步骤 5.2.2.12.2

重写表达式。

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

解题步骤 5.2.2.13

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

解题步骤 5.2.2.14

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $0$ 。

$1 - (0 + 0)$

解题步骤 5.2.2.15

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$1 - 0$

解题步骤 5.2.2.16

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.2.2.17

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6

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