微积分学示例

$\int_{0}^{7} \sqrt{y + 9} d y$

解题步骤 1

使 $u = y + 9$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = y + 9$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $y + 9$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $y + 9$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

解题步骤 1.1.4

因为 $9$ 对于 $y$ 是常数，所以 $9$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = y + 9$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = 0 + 9$

解题步骤 1.3

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$u_{lower} = 9$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = y + 9$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = 7 + 9$

解题步骤 1.5

将 $7$ 和 $9$ 相加。

$u_{upper} = 16$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 16$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{9}^{16} \sqrt{u} d u$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{9}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $16$ 处和在 $9$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.4

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $64$ 。

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.6

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.7

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 4.2.8

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.2.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.9.1

约去公因数。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.2.9.2

重写表达式。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

解题步骤 4.2.10

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27$

解题步骤 4.2.11

将 $27$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{128}{3} - 27 (\frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.12

组合 $- 27$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{128}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3}$

解题步骤 4.2.13

将 $- 27$ 乘以 $2$ 。

$\frac{128}{3} + \frac{- 54}{3}$

解题步骤 4.2.14

约去 $- 54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.14.1

从 $- 54$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3}$

解题步骤 4.2.14.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.14.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)}$

解题步骤 4.2.14.2.2

约去公因数。

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.14.2.3

重写表达式。

$\frac{128}{3} + \frac{- 18}{1}$

解题步骤 4.2.14.2.4

用 $- 18$ 除以 $1$ 。

$\frac{128}{3} - 18$

解题步骤 4.2.15

要将 $- 18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 4.2.16

组合 $- 18$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.17

在公分母上合并分子。

$\frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.18

化简分子。

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解题步骤 4.2.18.1

将 $- 18$ 乘以 $3$ 。

$\frac{128 - 54}{3}$

解题步骤 4.2.18.2

从 $128$ 中减去 $54$ 。

$\frac{74}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{74}{3}$

小数形式：

$24.\overline{6}$

带分数形式：

$24 \frac{2}{3}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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