微积分学示例

$\int \ln (4 x - 3) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (4 x - 3)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (4 x - 3) x - \int x \frac{4}{4 x - 3} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $x$ 和 $\frac{4}{4 x - 3}$ 。

$\ln (4 x - 3) x - \int \frac{x \cdot 4}{4 x - 3} d x$

解题步骤 2.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (4 x - 3) x - \int \frac{4 x}{4 x - 3} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\ln (4 x - 3) x - (4 \int \frac{x}{4 x - 3} d x)$

解题步骤 4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (4 x - 3) x - 4 \int \frac{x}{4 x - 3} d x$

解题步骤 5

用 $x$ 除以 $4 x - 3$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$4 x$

$3$

$x$

$0$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $4 x$ 。

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	-	$3$		$x$	+	$0$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	-	$3$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{3}{4}$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - \frac{3}{4}$ 中的所有符号

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	-	$3$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{3}{4}$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	-	$3$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{3}{4}$
					+	$\frac{3}{4}$

解题步骤 5.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\ln (4 x - 3) x - 4 \int \frac{1}{4} + \frac{3}{4 (4 x - 3)} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{3}{4 (4 x - 3)} d x)$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \int \frac{3}{4 (4 x - 3)} d x)$

解题步骤 8

由于 $\frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{4}$ 移到积分外。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{4 x - 3} d x)$

解题步骤 9

使 $u = 4 x - 3$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = 4 x - 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $4 x - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

解题步骤 9.1.2

根据加法法则， $4 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 9.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 9.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 9.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 9.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 9.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 9.1.4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 9.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{u \cdot 4} d u)$

解题步骤 10.2

将 $4$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{4 \cdot u} d u)$

解题步骤 10.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x$ 。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{4 u} d u)$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u))$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{3}{4}$ 。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 12.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 13

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{16} (\ln (| u |) + C))$

解题步骤 14

化简。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + \frac{3}{16} \ln (| u |)) + C$

解题步骤 15

使用 $4 x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + \frac{3}{16} \ln (| 4 x - 3 |)) + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简每一项。

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解题步骤 16.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x$ 。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + \frac{3}{16} \ln (| 4 x - 3 |)) + C$

解题步骤 16.1.2

组合 $\frac{3}{16}$ 和 $\ln (| 4 x - 3 |)$ 。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + \frac{3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16}) + C$

解题步骤 16.2

要将 $\frac{x}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16}) + C$

解题步骤 16.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 16.3.1

将 $\frac{x}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16}) + C$

解题步骤 16.3.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x \cdot 4}{16} + \frac{3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16}) + C$

解题步骤 16.4

在公分母上合并分子。

$\ln (4 x - 3) x - 4 \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16} + C$

解题步骤 16.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 16.5.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\ln (4 x - 3) x + 4 (- 1) \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16} + C$

解题步骤 16.5.2

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\ln (4 x - 3) x + 4 \cdot - 1 \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{4 \cdot 4} + C$

解题步骤 16.5.3

约去公因数。

$\ln (4 x - 3) x + 4 \cdot - 1 \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{4 \cdot 4} + C$

解题步骤 16.5.4

重写表达式。

$\ln (4 x - 3) x - \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{4} + C$

解题步骤 16.6

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (4 x - 3) x - \frac{4 x + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{4} + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$\ln (4 x - 3) x - \frac{1}{4} (4 x + 3 \ln (| 4 x - 3 |)) + C$

微积分学 示例

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