微积分学示例

$\int_{1}^{8} \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{8} {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{8} x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{1}^{8} x^{- 3} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{8}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 在 $8$ 处和在 $1$ 处的值。

$(- \frac{1}{2} \cdot 8^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

解题步骤 3.2.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{64} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{1}{64}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{64 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

解题步骤 3.2.4

将 $64$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

解题步骤 3.2.5

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 3.2.6

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.7

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{64}$

解题步骤 3.2.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $128$ 的形式。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$- \frac{1}{128} + \frac{64}{2 \cdot 64}$

解题步骤 3.2.8.2

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$- \frac{1}{128} + \frac{64}{128}$

解题步骤 3.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 64}{128}$

解题步骤 3.2.10

将 $- 1$ 和 $64$ 相加。

$\frac{63}{128}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{63}{128}$

小数形式：

$0.4921875$

解题步骤 5

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