微积分学示例

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

解题步骤 2.1.2

最终答案为 $\frac{1}{x + h}$ 。

$\frac{1}{x + h}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{1}{x + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h) x$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{1}{x + h}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $(x + h) x$ 的因式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

从 $0$ 中减去 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

将 $- \frac{h}{x (x + h)}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

从 $- h$ 中分解出因数 $h$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{x (x + h)}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

因为项 $- 1$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{x (x + h)}$

解题步骤 5.2

因为项 $\frac{1}{x}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}$

解题步骤 5.3

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}$

解题步骤 5.4

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}$

解题步骤 5.5

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 5.6

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + 0}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 7.2

乘以 $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$- \frac{1}{x \cdot x}$

解题步骤 7.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{x^{1} x}$

解题步骤 7.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

解题步骤 7.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

解题步骤 7.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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