微积分学示例

$x y = 32$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (32)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x y' + y \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x y' + y$

解题步骤 3

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x y' + y = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x y' = - y$

解题步骤 5.2

将 $x y' = - y$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $x y' = - y$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

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