微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 6 x^{2}$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 6 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 6 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

从 $4 x^{3} - 6 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (2 x) - 6 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3)$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$2 x^{2} (2 x - 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$2 x - 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $2 x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $2 x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $2 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 x = 3$

解题步骤 2.5.2.2

将 $2 x = 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $2 x = 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{3}{2}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $2 x^{2} (2 x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{3}{2}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{4} - 2 x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{4} - 2 {(0)}^{3}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 2 {(0)}^{3}$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 2 \cdot 0$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{3}{2}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{3}{2}$ 替换 $x$ 。

${(\frac{3}{2})}^{4} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3^{4}}{2^{4}} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{81}{2^{4}} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

解题步骤 4.2.2.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{81}{16} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

解题步骤 4.2.2.1.4

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} - 2 \frac{3^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81}{16} - 2 \frac{27}{2^{3}}$

解题步骤 4.2.2.1.6

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81}{16} - 2 (\frac{27}{8})$

解题步骤 4.2.2.1.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.7.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{16} + 2 (- 1) \frac{27}{8}$

解题步骤 4.2.2.1.7.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{27}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.2.2.1.7.3

约去公因数。

$\frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{27}{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.2.2.1.7.4

重写表达式。

$\frac{81}{16} - 1 (\frac{27}{4})$

解题步骤 4.2.2.1.8

将 $- 1 (\frac{27}{4})$ 重写为 $- (\frac{27}{4})$ 。

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4}$

解题步骤 4.2.2.2

要将 $- \frac{27}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 4.2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将 $\frac{27}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

解题步骤 4.2.2.3.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{16}$

解题步骤 4.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{81 - 27 \cdot 4}{16}$

解题步骤 4.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.2.5.1

将 $- 27$ 乘以 $4$ 。

$\frac{81 - 108}{16}$

解题步骤 4.2.2.5.2

从 $81$ 中减去 $108$ 。

$\frac{- 27}{16}$

解题步骤 4.2.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{27}{16}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(0, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{27}{16})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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