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微积分学 示例
解题步骤 1
解题步骤 1.1
使用除法定则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 1.2
求微分。
解题步骤 1.2.1
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.2.2
将 乘以 。
解题步骤 1.2.3
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 1.2.4
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.2.5
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 1.2.6
化简表达式。
解题步骤 1.2.6.1
将 和 相加。
解题步骤 1.2.6.2
将 乘以 。
解题步骤 1.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 1.4
对 进行 次方运算。
解题步骤 1.5
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.6
将 和 相加。
解题步骤 1.7
从 中减去 。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
使用除法定则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.2
求微分。
解题步骤 2.2.1
将 中的指数相乘。
解题步骤 2.2.1.1
运用幂法则并将指数相乘,。
解题步骤 2.2.1.2
将 乘以 。
解题步骤 2.2.2
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.2.3
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.2.4
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.2.5
将 乘以 。
解题步骤 2.2.6
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 2.2.7
将 和 相加。
解题步骤 2.3
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.3.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 2.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.3.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 2.4
求微分。
解题步骤 2.4.1
将 乘以 。
解题步骤 2.4.2
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.4.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.4.4
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 2.4.5
化简表达式。
解题步骤 2.4.5.1
将 和 相加。
解题步骤 2.4.5.2
将 移到 的左侧。
解题步骤 2.4.5.3
将 乘以 。
解题步骤 2.5
化简。
解题步骤 2.5.1
运用分配律。
解题步骤 2.5.2
运用分配律。
解题步骤 2.5.3
化简分子。
解题步骤 2.5.3.1
化简每一项。
解题步骤 2.5.3.1.1
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 2.5.3.1.2
将 重写为 。
解题步骤 2.5.3.1.3
使用 FOIL 方法展开 。
解题步骤 2.5.3.1.3.1
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.3.2
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.3.3
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.4
化简并合并同类项。
解题步骤 2.5.3.1.4.1
化简每一项。
解题步骤 2.5.3.1.4.1.1
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.4.1.1.1
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.5.3.1.4.1.1.2
将 和 相加。
解题步骤 2.5.3.1.4.1.2
将 移到 的左侧。
解题步骤 2.5.3.1.4.1.3
将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.4.2
将 和 相加。
解题步骤 2.5.3.1.5
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.6
化简。
解题步骤 2.5.3.1.6.1
将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.6.2
将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.7
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.8
化简。
解题步骤 2.5.3.1.8.1
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.8.1.1
移动 。
解题步骤 2.5.3.1.8.1.2
将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.8.1.2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.5.3.1.8.1.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.5.3.1.8.1.3
将 和 相加。
解题步骤 2.5.3.1.8.2
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.8.2.1
移动 。
解题步骤 2.5.3.1.8.2.2
将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.8.2.2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.5.3.1.8.2.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.5.3.1.8.2.3
将 和 相加。
解题步骤 2.5.3.1.9
化简每一项。
解题步骤 2.5.3.1.9.1
将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.9.2
将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.10
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.10.1
将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.10.1.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.5.3.1.10.1.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.5.3.1.10.2
将 和 相加。
解题步骤 2.5.3.1.11
使用 FOIL 方法展开 。
解题步骤 2.5.3.1.11.1
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.11.2
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.11.3
运用分配律。
解题步骤 2.5.3.1.12
化简并合并同类项。
解题步骤 2.5.3.1.12.1
化简每一项。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.1
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.1
移动 。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.3
将 和 相加。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.2
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.3
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.3.1
移动 。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.3.2
将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.3.2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.3.2.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.3.3
将 和 相加。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.4
将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.12.1.5
将 乘以 。
解题步骤 2.5.3.1.12.2
从 中减去 。
解题步骤 2.5.3.1.12.3
将 和 相加。
解题步骤 2.5.3.2
将 和 相加。
解题步骤 2.5.3.3
从 中减去 。
解题步骤 2.5.4
化简分子。
解题步骤 2.5.4.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 2.5.4.1.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 2.5.4.1.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 2.5.4.1.3
从 中分解出因数 。
解题步骤 2.5.4.1.4
从 中分解出因数 。
解题步骤 2.5.4.1.5
从 中分解出因数 。
解题步骤 2.5.4.2
将 重写为 。
解题步骤 2.5.4.3
使 。用 代入替换所有出现的 。
解题步骤 2.5.4.4
使用 AC 法来对 进行因式分解。
解题步骤 2.5.4.4.1
思考一下 这种形式。找出一对整数,其积为 ,且和为 。在本例中,其积即为 ,和为 。
解题步骤 2.5.4.4.2
使用这些整数书写分数形式。
解题步骤 2.5.4.5
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 2.5.5
约去 和 的公因数。
解题步骤 2.5.5.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 2.5.5.2
约去公因数。
解题步骤 2.5.5.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 2.5.5.2.2
约去公因数。
解题步骤 2.5.5.2.3
重写表达式。
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
解题步骤 4.1
求一阶导数。
解题步骤 4.1.1
使用除法定则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 4.1.2
求微分。
解题步骤 4.1.2.1
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.1.2.2
将 乘以 。
解题步骤 4.1.2.3
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 4.1.2.4
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.1.2.5
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 4.1.2.6
化简表达式。
解题步骤 4.1.2.6.1
将 和 相加。
解题步骤 4.1.2.6.2
将 乘以 。
解题步骤 4.1.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 4.1.4
对 进行 次方运算。
解题步骤 4.1.5
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 4.1.6
将 和 相加。
解题步骤 4.1.7
从 中减去 。
解题步骤 4.2
对 的一阶导数是 。
解题步骤 5
解题步骤 5.1
将一阶导数设为等于 。
解题步骤 5.2
将分子设为等于零。
解题步骤 5.3
求解 的方程。
解题步骤 5.3.1
从等式两边同时减去 。
解题步骤 5.3.2
将 中的每一项除以 并化简。
解题步骤 5.3.2.1
将 中的每一项都除以 。
解题步骤 5.3.2.2
化简左边。
解题步骤 5.3.2.2.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 5.3.2.2.2
用 除以 。
解题步骤 5.3.2.3
化简右边。
解题步骤 5.3.2.3.1
用 除以 。
解题步骤 5.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
解题步骤 5.3.4
化简 。
解题步骤 5.3.4.1
将 重写为 。
解题步骤 5.3.4.2
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
解题步骤 5.3.5
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 5.3.5.1
首先,利用 的正值求第一个解。
解题步骤 5.3.5.2
下一步,使用 的负值来求第二个解。
解题步骤 5.3.5.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 6
解题步骤 6.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 7
要计算的驻点。
解题步骤 8
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 9
解题步骤 9.1
将 乘以 。
解题步骤 9.2
化简分母。
解题步骤 9.2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 9.2.2
将 和 相加。
解题步骤 9.2.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 9.3
化简分子。
解题步骤 9.3.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 9.3.2
从 中减去 。
解题步骤 9.4
通过约去公因数来化简表达式。
解题步骤 9.4.1
将 乘以 。
解题步骤 9.4.2
约去 和 的公因数。
解题步骤 9.4.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 9.4.2.2
约去公因数。
解题步骤 9.4.2.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 9.4.2.2.2
约去公因数。
解题步骤 9.4.2.2.3
重写表达式。
解题步骤 9.4.3
将负号移到分数的前面。
解题步骤 10
因为二阶导数的值为负数,所以 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极大值
解题步骤 11
解题步骤 11.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 11.2
化简结果。
解题步骤 11.2.1
化简分母。
解题步骤 11.2.1.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 11.2.1.2
将 和 相加。
解题步骤 11.2.2
约去 和 的公因数。
解题步骤 11.2.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 11.2.2.2
约去公因数。
解题步骤 11.2.2.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 11.2.2.2.2
约去公因数。
解题步骤 11.2.2.2.3
重写表达式。
解题步骤 11.2.3
最终答案为 。
解题步骤 12
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 13
解题步骤 13.1
将 乘以 。
解题步骤 13.2
化简分母。
解题步骤 13.2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 13.2.2
将 和 相加。
解题步骤 13.2.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 13.3
化简分子。
解题步骤 13.3.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 13.3.2
从 中减去 。
解题步骤 13.4
通过约去公因数来化简表达式。
解题步骤 13.4.1
将 乘以 。
解题步骤 13.4.2
约去 和 的公因数。
解题步骤 13.4.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 13.4.2.2
约去公因数。
解题步骤 13.4.2.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 13.4.2.2.2
约去公因数。
解题步骤 13.4.2.2.3
重写表达式。
解题步骤 14
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 15
解题步骤 15.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 15.2
化简结果。
解题步骤 15.2.1
化简分母。
解题步骤 15.2.1.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 15.2.1.2
将 和 相加。
解题步骤 15.2.2
通过约去公因数来化简表达式。
解题步骤 15.2.2.1
约去 和 的公因数。
解题步骤 15.2.2.1.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 15.2.2.1.2
约去公因数。
解题步骤 15.2.2.1.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 15.2.2.1.2.2
约去公因数。
解题步骤 15.2.2.1.2.3
重写表达式。
解题步骤 15.2.2.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 15.2.3
最终答案为 。
解题步骤 16
这些是 的局部极值。
是一个局部最大值
是一个局部最小值
解题步骤 17