微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x \cdot 3$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $x \cdot 3$ 的因式。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{3 x} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3 - x}{3 x}}{x - 3}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{3 x} \cdot \frac{1}{x - 3}$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{3 - x}{3 x}$ 乘以 $\frac{1}{x - 3}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{3 x (x - 3)}$

解题步骤 2.1.3

约去 $3 - x$ 和 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3) - x}{3 x (x - 3)}$

解题步骤 2.1.3.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3) - (x)}{3 x (x - 3)}$

解题步骤 2.1.3.3

从 $- 1 (- 3) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3 + x)}{3 x (x - 3)}$

解题步骤 2.1.3.4

重新排序项。

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

解题步骤 2.1.3.5

约去公因数。

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

解题步骤 2.1.3.6

重写表达式。

$lim_{x \to 3} \frac{- 1}{3 x}$

解题步骤 2.2

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 1}{x}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 3} - 1}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 2.4

计算 $- 1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 3} x}$

解题步骤 3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{3}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

解题步骤 4.2

乘以 $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{9}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{9}$

小数形式：

$- 0.\overline{1}$

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