微积分学示例

$(x^{2} - 5 x + 2) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 5 x + 2$ 且 $g (x) = 5 x^{3} - x^{2} + 5$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - x^{2} + 5] + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x^{3} - x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

解题步骤 2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

解题步骤 2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

解题步骤 2.8

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x + 0) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

解题步骤 2.9

将 $15 x^{2} - 2 x$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $x^{2} - 5 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 2.12

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 2.14

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 2.15

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 + 0)$

解题步骤 2.16

将 $2 x - 5$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$

解题步骤 3.1.2

从 $(5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)) + 1 ((5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5))$

解题步骤 3.1.3

从 $1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)) + 1 ((5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5))$

解题步骤 3.2

将 $(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$(15 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 5 x + 2) + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(15 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 5 x + 2)$ 。

$15 x^{2} x^{2} + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$15 (x^{2} x^{2}) + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 x^{2 + 2} + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$15 x^{4} + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.2.3.1

移动 $x$ 。

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 x^{1 + 2} + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.4

将 $15$ 乘以 $- 5$ 。

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.5

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.6.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.7

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.2.8.1

移动 $x$ 。

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.9

将 $- 2$ 乘以 $- 5$ 。

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.2.10

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} + 10 x^{2} - 4 x + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.3

从 $- 75 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 30 x^{2} + 10 x^{2} - 4 x + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.4

将 $30 x^{2}$ 和 $10 x^{2}$ 相加。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

解题步骤 3.4.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$ 。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 x (5 x^{3}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6

化简每一项。

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解题步骤 3.4.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 x \cdot x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.6.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 (x^{3} x) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.2.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.6.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 (x^{3} x^{1}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 x^{3 + 1} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.4

使用乘法的交换性质重写。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.6.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.6.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.7

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.8

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 25 x^{3} - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.9

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 25 x^{3} + 5 x^{2} - 5 \cdot 5$

解题步骤 3.4.6.10

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 25 x^{3} + 5 x^{2} - 25$

解题步骤 3.4.7

从 $- 2 x^{3}$ 中减去 $25 x^{3}$ 。

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 27 x^{3} + 10 x + 5 x^{2} - 25$

解题步骤 3.5

将 $15 x^{4}$ 和 $10 x^{4}$ 相加。

$25 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x - 27 x^{3} + 10 x + 5 x^{2} - 25$

解题步骤 3.6

从 $- 77 x^{3}$ 中减去 $27 x^{3}$ 。

$25 x^{4} - 104 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x + 5 x^{2} - 25$

解题步骤 3.7

将 $40 x^{2}$ 和 $5 x^{2}$ 相加。

$25 x^{4} - 104 x^{3} + 45 x^{2} - 4 x + 10 x - 25$

解题步骤 3.8

将 $- 4 x$ 和 $10 x$ 相加。

$25 x^{4} - 104 x^{3} + 45 x^{2} + 6 x - 25$

微积分学 示例

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