微积分学示例

$(x + 8) (\frac{24}{x} + 12)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 8$ 且 $g (x) = \frac{24}{x} + 12$ 。

$(x + 8) \frac{d}{d x} [\frac{24}{x} + 12] + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{24}{x} + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$(x + 8) (\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.2

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{24}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(x + 8) (24 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.5

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.6

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + 0) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.7

将 $- 24 x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 2.10

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + 0)$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \cdot 1$

解题步骤 2.11.2

将 $\frac{24}{x} + 12$ 乘以 $1$ 。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12$

解题步骤 3

要将 $(x + 8) (- 24 x^{- 2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x}{x} + \frac{24}{x} + 12$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x + 24}{x} + 12$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x + 8) (- 24 (x^{1} x^{- 2})) + 24}{x} + 12$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{1 - 2}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 7

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 1}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{(x + 8) (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{x (- 24 \frac{1}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3

合并项。

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解题步骤 8.3.1

组合 $- 24$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x \frac{- 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{x (- \frac{24}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.3

组合 $x$ 和 $\frac{24}{x}$ 。

$\frac{- \frac{x \cdot 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.4

将 $24$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{- \frac{24 \cdot x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.5.1

约去公因数。

$\frac{- \frac{24 x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.5.2

用 $24$ 除以 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.6

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$\frac{- 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.7

组合 $- 24$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{- 24 + 8 \frac{- 24}{x} + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{- 24 + 8 (- \frac{24}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.9

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 24 - 8 \frac{24}{x} + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.10

组合 $- 8$ 和 $\frac{24}{x}$ 。

$\frac{- 24 + \frac{- 8 \cdot 24}{x} + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.11

将 $- 8$ 乘以 $24$ 。

$\frac{- 24 + \frac{- 192}{x} + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{- 24 - \frac{192}{x} + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.13

将 $- 24$ 和 $24$ 相加。

$\frac{- \frac{192}{x} + 0}{x} + 12$

解题步骤 8.3.14

将 $- \frac{192}{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \frac{192}{x}}{x} + 12$

解题步骤 8.3.15

将 $\frac{- \frac{192}{x}}{x}$ 重写为乘积形式。

$- \frac{192}{x} \cdot \frac{1}{x} + 12$

解题步骤 8.3.16

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{192}{x}$ 。

$- \frac{192}{x \cdot x} + 12$

解题步骤 8.3.17

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{192}{x^{1} x} + 12$

解题步骤 8.3.18

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{192}{x^{1} x^{1}} + 12$

解题步骤 8.3.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{192}{x^{1 + 1}} + 12$

解题步骤 8.3.20

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{192}{x^{2}} + 12$

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