微积分学示例

(x + 8) (\frac{24}{x} + 12)

$(x + 8) (\frac{24}{x} + 12)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中

$f (x) = x + 8$ 且

$g (x) = \frac{24}{x} + 12$ 。

$(x + 8) \frac{d}{d x} [\frac{24}{x} + 12] + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则，

$\frac{24}{x} + 12$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$(x + 8) (\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.2

因为

$24$ 对于

$x$ 是常数，所以

$\frac{24}{x}$ 对

$x$ 的导数是

$24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.3

将

$\frac{1}{x}$ 重写为

$x^{- 1}$ 。

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = - 1$ 。

$(x + 8) (24 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.5

将

$- 1$ 乘以

$24$ 。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.6

因为

$12$ 对于

$x$ 是常数，所以

$12$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + 0) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.7

将

$- 24 x^{- 2}$ 和

$0$ 相加。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

解题步骤 2.8

根据加法法则，

$x + 8$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 2.10

因为

$8$ 对于

$x$ 是常数，所以

$8$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + 0)$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \cdot 1$

解题步骤 2.11.2

将

$\frac{24}{x} + 12$ 乘以

$1$ 。

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12$

解题步骤 3

要将

$(x + 8) (- 24 x^{- 2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x}{x} + \frac{24}{x} + 12$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x + 24}{x} + 12$

解题步骤 5

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$\frac{(x + 8) (- 24 (x^{1} x^{- 2})) + 24}{x} + 12$

解题步骤 6

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{1 - 2}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 7

从

$1$ 中减去

$2$ 。

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 1}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用负指数规则

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{(x + 8) (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{x (- 24 \frac{1}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3

合并项。

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解题步骤 8.3.1

组合

$- 24$ 和

$\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x \frac{- 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{x (- \frac{24}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.3

组合

$x$ 和

$\frac{24}{x}$ 。

$\frac{- \frac{x \cdot 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.4

将

$24$ 移到

$x$ 的左侧。

$\frac{- \frac{24 \cdot x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.5

约去

$x$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.5.1

约去公因数。

$\frac{- \frac{24 x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.5.2

用

$24$ 除以

$1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.6

将

$- 1$ 乘以

$24$ 。

$\frac{- 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.7

组合

$- 24$ 和

$\frac{1}{x}$ 。

$\frac{- 24 + 8 \frac{- 24}{x} + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{- 24 + 8 (- \frac{24}{x}) + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.9

将

$- 1$ 乘以

$8$ 。

$\frac{- 24 - 8 \frac{24}{x} + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.10

组合

$- 8$ 和

$\frac{24}{x}$ 。

$\frac{- 24 + \frac{- 8 \cdot 24}{x} + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.11

将

$- 8$ 乘以

$24$ 。

$\frac{- 24 + \frac{- 192}{x} + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{- 24 - \frac{192}{x} + 24}{x} + 12$

解题步骤 8.3.13

将

$- 24$ 和

$24$ 相加。

$\frac{- \frac{192}{x} + 0}{x} + 12$

解题步骤 8.3.14

将

$- \frac{192}{x}$ 和

$0$ 相加。

$\frac{- \frac{192}{x}}{x} + 12$

解题步骤 8.3.15

将

$\frac{- \frac{192}{x}}{x}$ 重写为乘积形式。

$- \frac{192}{x} \cdot \frac{1}{x} + 12$

解题步骤 8.3.16

将

$\frac{1}{x}$ 乘以

$\frac{192}{x}$ 。

$- \frac{192}{x \cdot x} + 12$

解题步骤 8.3.17

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$- \frac{192}{x^{1} x} + 12$

解题步骤 8.3.18

对

$x$ 进行

$1$ 次方运算。

$- \frac{192}{x^{1} x^{1}} + 12$

解题步骤 8.3.19

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{192}{x^{1 + 1}} + 12$

解题步骤 8.3.20

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$- \frac{192}{x^{2}} + 12$

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