微积分学示例

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ 且 $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}] - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 2

根据加法法则， $e^{x} - e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 5.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 6.2

乘。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot 1) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 6.4

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 7

对 $e^{x} + e^{- x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1} (e^{x} + e^{- x}) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 8

对 $e^{x} + e^{- x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1} {(e^{x} + e^{- x})}^{1} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1 + 1} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 10

使用求加法法则求导。

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解题步骤 10.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 10.2

根据加法法则， $e^{x} + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 11

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 12

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 12.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 12.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 12.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 13

求微分。

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解题步骤 13.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 13.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 13.3

化简表达式。

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解题步骤 13.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 13.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 13.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 14

对 $e^{x} - e^{- x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} - e^{- x})}^{1} (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 15

对 $e^{x} - e^{- x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} - e^{- x})}^{1} {(e^{x} - e^{- x})}^{1})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{1 + 1}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18

化简分子。

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解题步骤 18.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e^{x} + e^{- x}$ 和 $b = e^{x} - e^{- x}$ 。

$\frac{(e^{x} + e^{- x} + e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2

化简。

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解题步骤 18.2.1

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$\frac{(2 e^{x} + e^{- x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2.2

从 $e^{- x}$ 中减去 $e^{- x}$ 。

$\frac{(2 e^{x} + 0) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2.3

将 $2 e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2.4

运用分配律。

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} - - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2.5

乘以 $- - e^{- x}$ 。

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解题步骤 18.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} + 1 e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2.5.2

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2.6

从 $e^{x}$ 中减去 $e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x} (0 + e^{- x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2.7

将 $0$ 和 $e^{- x}$ 相加。

$\frac{2 e^{x} (e^{- x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2.8

将 $e^{- x}$ 和 $e^{- x}$ 相加。

$\frac{2 e^{x} \cdot 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2.9

合并指数。

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解题步骤 18.2.9.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 e^{x} e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2.9.2

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 18.2.9.2.1

移动 $e^{- x}$ 。

$\frac{4 (e^{- x} e^{x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 e^{- x + x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2.9.2.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{4 e^{0}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

解题步骤 18.2.9.3

化简 $4 e^{0}$ 。

$\frac{4}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

微积分学 示例

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