微积分学示例

${(3 x^{2} - 7 x - 3)}^{2} \cdot 16$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

将 $16$ 移到 ${(3 x^{2} - 7 x - 3)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [16 \cdot {(3 x^{2} - 7 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 1.2

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 {(3 x^{2} - 7 x - 3)}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 7 x - 3)}^{2}]$ 。

$16 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 7 x - 3)}^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x^{2} - 7 x - 3$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{2} - 7 x - 3$ 。

$16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x - 3])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$16 (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x - 3])$

解题步骤 2.3

使用 $3 x^{2} - 7 x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$16 (2 (3 x^{2} - 7 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x - 3])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$32 ((3 x^{2} - 7 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x - 3])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $3 x^{2} - 7 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$32 (3 x^{2} - 7 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$32 (3 x^{2} - 7 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$32 (3 x^{2} - 7 x - 3) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$32 (3 x^{2} - 7 x - 3) (6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3.6

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$32 (3 x^{2} - 7 x - 3) (6 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$32 (3 x^{2} - 7 x - 3) (6 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3.8

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$32 (3 x^{2} - 7 x - 3) (6 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 3.9

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$32 (3 x^{2} - 7 x - 3) (6 x - 7 + 0)$

解题步骤 3.10

将 $6 x - 7$ 和 $0$ 相加。

$32 (3 x^{2} - 7 x - 3) (6 x - 7)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(32 (3 x^{2}) + 32 (- 7 x) + 32 \cdot - 3) (6 x - 7)$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $3$ 乘以 $32$ 。

$(96 x^{2} + 32 (- 7 x) + 32 \cdot - 3) (6 x - 7)$

解题步骤 4.2.2

将 $- 7$ 乘以 $32$ 。

$(96 x^{2} - 224 x + 32 \cdot - 3) (6 x - 7)$

解题步骤 4.2.3

将 $32$ 乘以 $- 3$ 。

$(96 x^{2} - 224 x - 96) (6 x - 7)$

解题步骤 4.3

重新排序 $(96 x^{2} - 224 x - 96) (6 x - 7)$ 的因式。

$(6 x - 7) (96 x^{2} - 224 x - 96)$

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