微积分学示例

$(3 x + 2 \sqrt{x} + \frac{32}{x^{2}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 2

根据加法法则， $3 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{32}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 10

在公分母上合并分子。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 11

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 12

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

将负号移到分数的前面。

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 12.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$3 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 12.3

组合 $2$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$3 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 12.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 12.5

约去公因数。

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 12.6

重写表达式。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

解题步骤 13

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{32}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 14

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 14.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 14.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 16

将 $- 2$ 乘以 $32$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 x^{- 3}$

解题步骤 17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 18

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.1

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.1.1

组合 $- 64$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 64}{x^{3}}$

解题步骤 18.1.2

将负号移到分数的前面。

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{64}{x^{3}}$

解题步骤 18.2

重新排序项。

$- \frac{64}{x^{3}} + 3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

微积分学示例