微积分学示例

$\sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[3]{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 3.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 3.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

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