微积分学示例

$f (x) = {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x^{3} - 8$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} - 8$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{3} - 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 6

合并分数。

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解题步骤 6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 {(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

解题步骤 7

根据加法法则， $x^{3} - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

解题步骤 9

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2} + 0)$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2})$

解题步骤 10.2

组合 $3$ 和 $\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} x^{2}$

解题步骤 10.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} x^{2}$

解题步骤 10.4

组合 $\frac{6}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{6 x^{2}}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 10.5

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11

约去公因数。

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解题步骤 11.1

从 $3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 ({(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 11.2

约去公因数。

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 11.3

重写表达式。

$\frac{2 x^{2}}{{(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

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