微积分学示例

$(\sqrt{x + h} - \sqrt{x}) (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})$

解题步骤 1

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{x + h} - \sqrt{x}) (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})$ 。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\sqrt{x + h} (\sqrt{x + h} + \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\sqrt{x + h} \sqrt{x + h} + \sqrt{x + h} \sqrt{x} - \sqrt{x} (\sqrt{x + h} + \sqrt{x})$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\sqrt{x + h} \sqrt{x + h} + \sqrt{x + h} \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{x + h} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

合并 $\sqrt{x + h} \sqrt{x + h} + \sqrt{x + h} \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{x + h} - \sqrt{x} \sqrt{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.1

按照 $\sqrt{x + h} \sqrt{x}$ 和 $- \sqrt{x} \sqrt{x + h}$ 重新排列因数。

$\sqrt{x + h} \sqrt{x + h} + \sqrt{x} \sqrt{x + h} - \sqrt{x} \sqrt{x + h} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2.1.2

从 $\sqrt{x} \sqrt{x + h}$ 中减去 $\sqrt{x} \sqrt{x + h}$ 。

$\sqrt{x + h} \sqrt{x + h} + 0 - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2.1.3

将 $\sqrt{x + h} \sqrt{x + h}$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{x + h} \sqrt{x + h} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

乘以 $\sqrt{x + h} \sqrt{x + h}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $\sqrt{x + h}$ 进行 $1$ 次方运算。

${\sqrt{x + h}}^{1} \sqrt{x + h} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2.2.1.2

对 $\sqrt{x + h}$ 进行 $1$ 次方运算。

${\sqrt{x + h}}^{1} {\sqrt{x + h}}^{1} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sqrt{x + h}}^{1 + 1} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${\sqrt{x + h}}^{2} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2.2.2

将 ${\sqrt{x + h}}^{2}$ 重写为 $x + h$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + h}$ 重写成 ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${(x + h)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.4.1

约去公因数。

${(x + h)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2.2.2.4.2

重写表达式。

${(x + h)}^{1} - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2.2.2.5

化简。

$x + h - \sqrt{x} \sqrt{x}$

解题步骤 2.2.3

乘以 $- \sqrt{x} \sqrt{x}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x + h - ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})$

解题步骤 2.2.3.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x + h - ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})$

解题步骤 2.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x + h - {\sqrt{x}}^{1 + 1}$

解题步骤 2.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x + h - {\sqrt{x}}^{2}$

解题步骤 2.2.4

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x + h - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x + h - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x + h - x^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.4.1

约去公因数。

$x + h - x^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.2.4.4.2

重写表达式。

$x + h - x^{1}$

解题步骤 2.2.4.5

化简。

$x + h - x$

解题步骤 2.3

合并 $x + h - x$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$h + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $h$ 和 $0$ 相加。

$h$

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