微积分学示例

$y = (x + 6) (\frac{x}{x + 1})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 6$ 且 $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ 。

$(x + 6) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}] + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$(x + 6) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + 6) \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

解题步骤 3.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

解题步骤 3.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

解题步骤 3.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(x + 6) \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

解题步骤 3.6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$(x + 6) \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

解题步骤 3.6.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 3.9

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + 0)$

解题步骤 3.10

化简表达式。

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解题步骤 3.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \cdot 1$

解题步骤 3.10.2

将 $\frac{x}{x + 1}$ 乘以 $1$ 。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1}$

解题步骤 4

要将 $(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

解题步骤 5

组合 $(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 和 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1)}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.1

将 $x + 6$ 乘以 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{\frac{x + 6}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

解题步骤 7.1.1.2

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1

从 ${(x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

解题步骤 7.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

解题步骤 7.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + x}{x + 1}$

解题步骤 7.1.2

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + \frac{x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

解题步骤 7.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x + 6 + x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

解题步骤 7.1.4

化简分子。

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解题步骤 7.1.4.1

运用分配律。

$\frac{\frac{x + 6 + x \cdot x + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

解题步骤 7.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

解题步骤 7.1.4.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x}{x + 1}}{x + 1}$

解题步骤 7.1.4.4

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\frac{2 x + 6 + x^{2}}{x + 1}}{x + 1}$

解题步骤 7.1.4.5

重新排序项。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$ 重写为乘积形式。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 7.2.2

将 $\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}$ 乘以 $\frac{1}{x + 1}$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{(x + 1) (x + 1)}$

解题步骤 7.2.3

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

解题步骤 7.2.4

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

解题步骤 7.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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