微积分学示例

$\ln (x^{x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{x}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

解题步骤 2

使用对数的性质化简微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $x^{x}$ 重写为 $e^{\ln (x^{x})}$ 。

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

解题步骤 2.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{x})$ 。

$\frac{1}{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x \ln (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x \ln (x)$ 。

$\frac{1}{x^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{x^{x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

解题步骤 3.3

使用 $x \ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x^{x}} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

解题步骤 4

组合 $e^{x \ln (x)}$ 和 $\frac{1}{x^{x}}$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 7.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} (1 + \ln (x))$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \cdot 1 + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

解题步骤 8.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

将 $\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} \ln (x)$

解题步骤 8.2.2

组合 $\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x^{x}} + \frac{e^{x \ln (x)} \ln (x)}{x^{x}}$

微积分学 示例

微积分学示例