微积分学示例

$x^{4} - 6 x^{2} + 5$

解题步骤 1

将 $x^{4} - 6 x^{2} + 5$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 6 x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$4 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 2.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 12 x + 0$

解题步骤 2.1.3.2

将 $4 x^{3} - 12 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{2} - 12 \cdot 1$

解题步骤 2.2.3.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x^{2} - 12$ 。

$12 x^{2} - 12$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} - 12 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} - 12 = 0$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $12$ 。

$12 x^{2} = 12$

解题步骤 3.3

将 $12 x^{2} = 12$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $12 x^{2} = 12$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{12}{12}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用 $12$ 除以 $12$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 3.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 $f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2} + 5$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 6 {(1)}^{2} + 5$

解题步骤 4.1.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 6 \cdot 1 + 5$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 - 6 + 5$

解题步骤 4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$f (1) = - 5 + 5$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f (1) = 0$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

通过将 $1$ 代入 $f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ 中求得的点为 $(1, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(1, 0)$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 代入 $f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{2} + 5$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 1) = 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 5$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = 1 - 6 \cdot 1 + 5$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = 1 - 6 + 5$

解题步骤 4.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$f (- 1) = - 5 + 5$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f (- 1) = 0$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.4

通过将 $- 1$ 代入 $f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ 中求得的点为 $(- 1, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 1, 0)$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(1, 0), (- 1, 0)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} - 12$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12$

解题步骤 6.2.1.2

将 $12$ 乘以 $1.21$ 。

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 12$

解题步骤 6.2.2

从 $14.52$ 中减去 $12$ 。

$f'' (- 1.1) = 2.52$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $2.52$ 。

$2.52$

解题步骤 6.3

在 $- 1.1$ 处，二阶导数为 $2.52$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 1)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 1, 1)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 12$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 12$

解题步骤 7.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 12$

解题步骤 7.2.2

从 $0$ 中减去 $12$ 。

$f'' (0) = - 12$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 12$ 。

$- 12$

解题步骤 7.3

在 $0$ ，二阶导数为 $- 12$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 1, 1)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 1, 1)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $1.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} - 12$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12$

解题步骤 8.2.1.2

将 $12$ 乘以 $1.21$ 。

$f'' (1.1) = 14.52 - 12$

解题步骤 8.2.2

从 $14.52$ 中减去 $12$ 。

$f'' (1.1) = 2.52$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $2.52$ 。

$2.52$

解题步骤 8.3

在 $1.1$ 处，二阶导数为 $2.52$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 1, 0), (1, 0)$ 。

$(- 1, 0), (1, 0)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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