微积分学示例

$(x - 1) {(x^{2} - 2 x + 5)}^{5}$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} - 2 x + 5$ 。然后使 $d u = (2 x - 2) d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = (x - 1) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} - 2 x + 5$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} - 2 x + 5$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 5]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - 2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$2 x - 2$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{5} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{5}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{u^{5}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int u^{5} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{5}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{6} u^{6}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{1}{2} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 6} u^{6} + C$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{1}{12} u^{6} + C$

解题步骤 6

使用 $x^{2} - 2 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{12} {(x^{2} - 2 x + 5)}^{6} + C$

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