微积分学示例

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} y$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

解题步骤 3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $6 x y$ 。

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.2

从 $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 x^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.2.2

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.2.3

从 $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.3

将 $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ 中的每一项除以 $3 (x^{2} + y^{2})$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ 中的每一项都除以 $3 (x^{2} + y^{2})$ 。

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $x^{2} + y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.3

约去 $- 6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.1

从 $- 6 x y$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2

化简项。

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解题步骤 5.3.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

从 $- x^{2} - 2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.2.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.2.2

从 $- 2 x y$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.2.3

从 $x (- x) + x (- 2 y)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.4

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.5

从 $- (x) - (2 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.2.6.1

将 $- (x + 2 y)$ 重写为 $- 1 (x + 2 y)$ 。

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2.6.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 7

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将分子设为等于零。

$x (x + 2 y) = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 7.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 2 y = 0$

解题步骤 7.2.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7.2.3

将 $x + 2 y$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $x + 2 y$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 y = 0$

解题步骤 7.2.3.2

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$x = - 2 y$

解题步骤 7.2.4

最终解为使 $x (x + 2 y) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简 $0^{3} + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3}$ 。

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解题步骤 8.1.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3} = 8$

解题步骤 8.1.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 3 \cdot (0 y) + y^{3} = 8$

解题步骤 8.1.1.3

将 $0$ 乘以 $y$ 。

$0 + 3 \cdot 0 + y^{3} = 8$

解题步骤 8.1.1.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + y^{3} = 8$

解题步骤 8.1.2

合并 $0 + 0 + y^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 8.1.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + y^{3} = 8$

解题步骤 8.1.2.2

将 $0$ 和 $y^{3}$ 相加。

$y^{3} = 8$

解题步骤 8.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$y^{3} - 8 = 0$

解题步骤 8.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 8.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$y^{3} - 2^{3} = 0$

解题步骤 8.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 2$ 。

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

解题步骤 8.3.3

化简。

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解题步骤 8.3.3.1

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

解题步骤 8.3.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

解题步骤 8.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

解题步骤 8.5

将 $y - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 8.5.1

将 $y - 2$ 设为等于 $0$ 。

$y - 2 = 0$

解题步骤 8.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 8.6

将 $y^{2} + 2 y + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 8.6.1

将 $y^{2} + 2 y + 4$ 设为等于 $0$ 。

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

解题步骤 8.6.2

求解 $y$ 的 $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ 。

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解题步骤 8.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 8.6.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.3

化简。

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解题步骤 8.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.6.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 8.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.3.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.3.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.6.2.3.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.6.2.3.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 8.6.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 8.6.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 8.6.2.4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 8.6.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.4.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.4.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.6.2.4.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.4.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.6.2.4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 8.6.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

解题步骤 8.6.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 8.6.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 8.6.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ 。

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解题步骤 8.6.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.5.1.4

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (12)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.5.1.7

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 8.6.2.5.1.7.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 8.6.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.6.2.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 8.6.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 8.6.2.6

最终答案为两个解的组合。

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 8.7

最终解为使 $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ 成立的所有值。

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

解题步骤 9

求解 $y$ 。

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解题步骤 9.1

化简 ${(- 2 y)}^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3}$ 。

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解题步骤 9.1.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1.1

对 $- 2 y$ 运用乘积法则。

${(- 2)}^{3} y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

解题步骤 9.1.1.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 8 y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

解题步骤 9.1.1.3

对 $- 2 y$ 运用乘积法则。

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{2}) y + y^{3} = 8$

解题步骤 9.1.1.4

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 9.1.1.4.1

移动 $y$ 。

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y \cdot y^{2})) + y^{3} = 8$

解题步骤 9.1.1.4.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 9.1.1.4.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y^{1} y^{2})) + y^{3} = 8$

解题步骤 9.1.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{1 + 2}) + y^{3} = 8$

解题步骤 9.1.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{3}) + y^{3} = 8$

解题步骤 9.1.1.5

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 8 y^{3} + 3 (4 y^{3}) + y^{3} = 8$

解题步骤 9.1.1.6

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$- 8 y^{3} + 12 y^{3} + y^{3} = 8$

解题步骤 9.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 9.1.2.1

将 $- 8 y^{3}$ 和 $12 y^{3}$ 相加。

$4 y^{3} + y^{3} = 8$

解题步骤 9.1.2.2

将 $4 y^{3}$ 和 $y^{3}$ 相加。

$5 y^{3} = 8$

解题步骤 9.2

将 $5 y^{3} = 8$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $5 y^{3} = 8$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

解题步骤 9.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

解题步骤 9.2.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{8}{5}$

解题步骤 9.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{8}{5}}$

解题步骤 9.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ 。

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解题步骤 9.4.1

将 $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$

解题步骤 9.4.2

化简分子。

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解题步骤 9.4.2.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{2^{3}}}{\sqrt[3]{5}}$

解题步骤 9.4.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}}$

解题步骤 9.4.3

将 $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ 。

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

解题步骤 9.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 9.4.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ 。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.2

对 $\sqrt[3]{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

解题步骤 9.4.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

解题步骤 9.4.4.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

解题步骤 9.4.4.5

将 ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 9.4.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 9.4.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 9.4.4.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 9.4.4.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.4.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 9.4.4.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

解题步骤 9.4.4.5.5

计算指数。

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

解题步骤 9.4.5

化简分子。

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解题步骤 9.4.5.1

将 ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{5^{2}}$ 。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

解题步骤 9.4.5.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5}$

解题步骤 10

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(0, 2)$

$(0, - 1 + i \sqrt{3})$

$(0, - 1 - i \sqrt{3})$

$(- 2 y, \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5})$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例