微积分学示例

$\int_{1}^{16} \frac{x - 5}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{16} \frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{16} (x - 5) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4

展开 $(x - 5) x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int_{1}^{16} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1}^{16} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{16} x^{1 - \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int_{1}^{16} x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\int_{1}^{16} x^{\frac{2 - 1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{16} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} + \int_{1}^{16} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} - 5 \int_{1}^{16} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 在 $16$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

解题步骤 9.2

计算 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 在 $16$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.4

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $64$ 。

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.6

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{128 - 2}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.10

从 $128$ 中减去 $2$ 。

$\frac{126}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.11

约去 $126$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.11.1

从 $126$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 42}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 42}{3 (1)} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.11.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.11.2.3

重写表达式。

$\frac{42}{1} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.11.2.4

用 $42$ 除以 $1$ 。

$42 - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.12

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$42 - 5 (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.13

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$42 - 5 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.14

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.14.1

约去公因数。

$42 - 5 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.14.2

重写表达式。

$42 - 5 (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.15

计算指数。

$42 - 5 (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.16

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$42 - 5 (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 9.3.17

一的任意次幂都为一。

$42 - 5 (8 - 2 \cdot 1)$

解题步骤 9.3.18

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$42 - 5 (8 - 2)$

解题步骤 9.3.19

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$42 - 5 \cdot 6$

解题步骤 9.3.20

将 $- 5$ 乘以 $6$ 。

$42 - 30$

解题步骤 9.3.21

从 $42$ 中减去 $30$ 。

$12$

解题步骤 10

微积分学 示例

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