微积分学示例

$\int_{0}^{2} x (x - 3) d x$

解题步骤 1

乘以 $x (x - 3)$ 。

$\int_{0}^{2} x \cdot x + x \cdot - 3 d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{2} x^{1} x + x \cdot - 3 d x$

解题步骤 2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{2} x^{1} x^{1} + x \cdot - 3 d x$

解题步骤 2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{2} x^{1 + 1} + x \cdot - 3 d x$

解题步骤 2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{2} x^{2} + x \cdot - 3 d x$

解题步骤 2.5

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\int_{0}^{2} x^{2} - 3 x d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 3 x d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 3 x d x$

解题步骤 5

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2} - 3 \int_{0}^{2} x d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 7.2

代入并化简。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 7.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3

化简。

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解题步骤 7.2.3.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $8$ 。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3}) - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.5

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{8}{3} + 0 - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.6

将 $\frac{8}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8}{3} - 3 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{8}{3} - 3 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.8

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.8.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8}{3} - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8}{3} - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.8.2.2

约去公因数。

$\frac{8}{3} - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.8.2.3

重写表达式。

$\frac{8}{3} - 3 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.8.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{8}{3} - 3 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 7.2.3.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{8}{3} - 3 (2 - \frac{0}{2})$

解题步骤 7.2.3.10

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.10.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8}{3} - 3 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 7.2.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{8}{3} - 3 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 7.2.3.10.2.2

约去公因数。

$\frac{8}{3} - 3 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 7.2.3.10.2.3

重写表达式。

$\frac{8}{3} - 3 (2 - \frac{0}{1})$

解题步骤 7.2.3.10.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{8}{3} - 3 (2 - 0)$

解题步骤 7.2.3.11

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{8}{3} - 3 (2 + 0)$

解题步骤 7.2.3.12

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8}{3} - 3 \cdot 2$

解题步骤 7.2.3.13

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8}{3} - 6$

解题步骤 7.2.3.14

要将 $- 6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8}{3} - 6 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 7.2.3.15

组合 $- 6$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8}{3} + \frac{- 6 \cdot 3}{3}$

解题步骤 7.2.3.16

在公分母上合并分子。

$\frac{8 - 6 \cdot 3}{3}$

解题步骤 7.2.3.17

化简分子。

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解题步骤 7.2.3.17.1

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 - 18}{3}$

解题步骤 7.2.3.17.2

从 $8$ 中减去 $18$ 。

$\frac{- 10}{3}$

解题步骤 7.2.3.18

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10}{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{10}{3}$

小数形式：

$- 3.\overline{3}$

带分数形式：

$- 3 \frac{1}{3}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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