微积分学示例

$\int_{0}^{3} | x - 1 | d x$

解题步骤 1

根据 $x - 1$ 在某些位置是正的和负的，来分解积分。

$\int_{0}^{1} - x + 1 d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} - x d x + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - 1 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 1 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3} + - x]_{1}^{3}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}$ 和 $- x]_{1}^{3}$ 。

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

解题步骤 10.2

代入并化简。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$- ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

解题步骤 10.2.2

计算 $x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

解题步骤 10.2.3

计算 $\frac{1}{2} x^{2} - x$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4

化简。

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解题步骤 10.2.4.1

一的任意次幂都为一。

$- (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.3

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.3.2.2

约去公因数。

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.3.2.3

重写表达式。

$- (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{1}{2} - 0) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- (\frac{1}{2} + 0) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.5

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{2} + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{2} + 1 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.8

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.9

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.10

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 9 - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.11

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.12

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.13

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.14

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.15

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} + \frac{9 - 3 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.16

化简分子。

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解题步骤 10.2.4.16.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{9 - 6}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.16.2

从 $9$ 中减去 $6$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.17

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.18

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 10.2.4.19

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

解题步骤 10.2.4.20

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 10.2.4.21

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

解题步骤 10.2.4.22

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.2.4.23

化简分子。

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解题步骤 10.2.4.23.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

解题步骤 10.2.4.23.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{- 1}{2}$

解题步骤 10.2.4.24

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - - \frac{1}{2}$

解题步骤 10.2.4.25

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 10.2.4.26

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 10.2.4.27

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} + \frac{3 + 1}{2}$

解题步骤 10.2.4.28

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2}$

解题步骤 10.2.4.29

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.29.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.2.4.29.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.29.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

解题步骤 10.2.4.29.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 10.2.4.29.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} + \frac{2}{1}$

解题步骤 10.2.4.29.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + 2$

解题步骤 10.2.4.30

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 10.2.4.31

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.2.4.32

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.2.4.33

化简分子。

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解题步骤 10.2.4.33.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 + 4}{2}$

解题步骤 10.2.4.33.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{5}{2}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{2}$

小数形式：

$2.5$

带分数形式：

$2 \frac{1}{2}$

解题步骤 12

微积分学 示例

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