微积分学示例

$\int_{1}^{5} \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x - 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 2 x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 2 - 1$

解题步骤 1.3.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 2 x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 5 - 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$u_{upper} = 10 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $10$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{9} \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{1}^{9} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.2

合并。

$\int_{1}^{9} \frac{2 (\frac{u}{2} + \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

约去公因数。

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.4.2

重写表达式。

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.5.2

重写表达式。

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.6

将 $\frac{u + 1}{2 \sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{4 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 4.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

展开 $(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5.7

将 $u^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

解题步骤 9

组合 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$ 和 $2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $27$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.6

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.7

约去 $54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.7.1

从 $54$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.7.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.8

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.9

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.10.1

约去公因数。

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.10.2

重写表达式。

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{1} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.11

计算指数。

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.12

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{4} (18 + 6 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.13

将 $18$ 和 $6$ 相加。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.14

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.15

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 10.2.16

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot 1))$

解题步骤 10.2.17

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2))$

解题步骤 10.2.18

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}))$

解题步骤 10.2.19

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}))$

解题步骤 10.2.20

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} (24 - \frac{2 + 2 \cdot 3}{3})$

解题步骤 10.2.21

化简分子。

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解题步骤 10.2.21.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{4} (24 - \frac{2 + 6}{3})$

解题步骤 10.2.21.2

将 $2$ 和 $6$ 相加。

$\frac{1}{4} (24 - \frac{8}{3})$

解题步骤 10.2.22

要将 $24$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

解题步骤 10.2.23

组合 $24$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

解题步骤 10.2.24

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{24 \cdot 3 - 8}{3}$

解题步骤 10.2.25

化简分子。

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解题步骤 10.2.25.1

将 $24$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{72 - 8}{3}$

解题步骤 10.2.25.2

从 $72$ 中减去 $8$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{64}{3}$

解题步骤 10.2.26

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{64}{3}$ 。

$\frac{64}{4 \cdot 3}$

解题步骤 10.2.27

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{64}{12}$

解题步骤 10.2.28

约去 $64$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.28.1

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (16)}{12}$

解题步骤 10.2.28.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.28.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

解题步骤 10.2.28.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

解题步骤 10.2.28.2.3

重写表达式。

$\frac{16}{3}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{16}{3}$

小数形式：

$5.\overline{3}$

带分数形式：

$5 \frac{1}{3}$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例