微积分学示例

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

解题步骤 1

使 $x = 2 \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $2 \sec^{2} (t)$ 为正数。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $2 \tan (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $4 \tan^{2} (t) + 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $4 \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.2.3

从 $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

使用勾股恒等式。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

将 $4 \sec^{2} (t)$ 重写为 ${(2 \sec (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

约去 $2 \sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $2 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $2 \sec (t)$ 。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

解题步骤 2.2.1.2

约去公因数。

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 2.2.1.3

重写表达式。

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $2 \tan (t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

解题步骤 2.2.2.2

对 $2 (\tan (t))$ 运用乘积法则。

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 2.2.2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 3

由于 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 4

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 5

因式分解出 $\tan^{2} (t)$ 。

$8 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 7

化简。

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

解题步骤 8

使 $u = \sec (t)$ 。然后使 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ ，以便 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = \sec (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $\sec (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

解题步骤 8.1.2

$\sec (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\sec (t) \tan (t)$ 。

$\sec (t) \tan (t)$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$8 \int - 1 + u^{2} d u$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$8 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$8 (- u + C + \int u^{2} d u)$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$8 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$8 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

解题步骤 12.2

化简。

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

解题步骤 13

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 13.1

使用 $\sec (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

解题步骤 13.2

使用 $\arctan (\frac{x}{2})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$8 (- \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, \frac{x}{2})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (\frac{x}{2})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \frac{x}{2})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ 为 $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ 。

$8 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 14.1.2

对 $\frac{x}{2}$ 运用乘积法则。

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 14.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 14.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$8 (- \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 14.1.5

在公分母上合并分子。

$8 (- \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 14.1.6

将 $\frac{4 + x^{2}}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ 。

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解题步骤 14.1.6.1

从 $4 + x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 14.1.6.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 14.1.6.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$8 (- \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 14.1.7

从根式下提出各项。

$8 (- (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 14.1.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 14.1.9

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}^{3}) + C$

解题步骤 14.1.10

对 $\frac{x}{2}$ 运用乘积法则。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}^{3}) + C$

解题步骤 14.1.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

解题步骤 14.1.12

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

解题步骤 14.1.13

在公分母上合并分子。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

解题步骤 14.1.14

将 $\frac{4 + x^{2}}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ 。

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解题步骤 14.1.14.1

从 $4 + x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}^{3}) + C$

解题步骤 14.1.14.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

解题步骤 14.1.14.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}^{3}) + C$

解题步骤 14.1.15

从根式下提出各项。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}^{3}) + C$

解题步骤 14.1.16

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2})}^{3}) + C$

解题步骤 14.1.17

对 $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ 运用乘积法则。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{2^{3}}) + C$

解题步骤 14.1.18

合并。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1 {\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

解题步骤 14.1.19

将 ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

解题步骤 14.1.20

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 8}) + C$

解题步骤 14.1.21

化简分子。

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解题步骤 14.1.21.1

将 ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 8}) + C$

解题步骤 14.1.21.2

因式分解出 ${(4 + x^{2})}^{2}$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{2} (4 + x^{2})}}{3 \cdot 8}) + C$

解题步骤 14.1.21.3

从根式下提出各项。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{(4 + x^{2}) \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

解题步骤 14.1.21.4

运用分配律。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

解题步骤 14.1.21.5

从 $4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 。

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解题步骤 14.1.21.5.1

从 $4 \sqrt{4 + x^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

解题步骤 14.1.21.5.2

从 $x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 8}) + C$

解题步骤 14.1.21.5.3

从 $\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}$ 中分解出因数 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3 \cdot 8}) + C$

解题步骤 14.1.22

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

解题步骤 14.2

要将 $- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{12}{12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

解题步骤 14.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $24$ 的形式。

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解题步骤 14.3.1

将 $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{2 \cdot 12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

解题步骤 14.3.2

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{24} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

解题步骤 14.4

在公分母上合并分子。

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24} + C$

解题步骤 14.5

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 14.5.1

从 $24$ 中分解出因数 $8$ 。

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 (3)} + C$

解题步骤 14.5.2

约去公因数。

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 \cdot 3} + C$

解题步骤 14.5.3

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

解题步骤 14.6

化简分子。

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解题步骤 14.6.1

从 $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ 中分解出因数 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 。

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解题步骤 14.6.1.1

从 $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12$ 中分解出因数 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

解题步骤 14.6.1.2

从 $\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ 中分解出因数 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

解题步骤 14.6.2

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

解题步骤 14.6.3

将 $- 12$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 8 + x^{2})}{3} + C$

解题步骤 14.7

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) + x^{2})}{3} + C$

解题步骤 14.8

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

解题步骤 14.9

从 $- 1 (8) - 1 (- x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8 - x^{2}))}{3} + C$

解题步骤 14.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (8 - x^{2})}{3} + C$

微积分学 示例

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