微积分学示例

$\int \ln (5 x - 4) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (5 x - 4)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (5 x - 4) x - \int x \frac{5}{5 x - 4} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $x$ 和 $\frac{5}{5 x - 4}$ 。

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{x \cdot 5}{5 x - 4} d x$

解题步骤 2.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{5 x}{5 x - 4} d x$

解题步骤 3

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$\ln (5 x - 4) x - (5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x)$

解题步骤 4

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x$

解题步骤 5

用 $x$ 除以 $5 x - 4$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$5 x$

$4$

$x$

$0$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $5 x$ 。

					$\frac{1}{5}$
	$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{4}{5}$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - \frac{4}{5}$ 中的所有符号

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$
					+	$\frac{4}{5}$

解题步骤 5.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{1}{5} + \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\int \frac{1}{5} d x + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

解题步骤 8

由于 $\frac{4}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{4}{5}$ 移到积分外。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 x - 4} d x)$

解题步骤 9

使 $u = 5 x - 4$ 。然后使 $d u = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = 5 x - 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $5 x - 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x - 4]$

解题步骤 9.1.2

根据加法法则， $5 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 9.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 9.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 9.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 9.1.3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 9.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 9.1.4.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 + 0$

解题步骤 9.1.4.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$5$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u \cdot 5} d u)$

解题步骤 10.2

将 $5$ 移到 $u$ 的左侧。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 \cdot u} d u)$

解题步骤 10.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x$ 。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 u} d u)$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u))$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{4}{5}$ 。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5 \cdot 5} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 12.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 13

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} (\ln (| u |) + C))$

解题步骤 14

化简。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| u |)) + C$

解题步骤 15

使用 $5 x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简每一项。

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解题步骤 16.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x$ 。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

解题步骤 16.1.2

组合 $\frac{4}{25}$ 和 $\ln (| 5 x - 4 |)$ 。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

解题步骤 16.2

要将 $\frac{x}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

解题步骤 16.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $25$ 的形式。

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解题步骤 16.3.1

将 $\frac{x}{5}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

解题步骤 16.3.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{25} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

解题步骤 16.4

在公分母上合并分子。

$\ln (5 x - 4) x - 5 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

解题步骤 16.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 16.5.1

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\ln (5 x - 4) x + 5 (- 1) \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

解题步骤 16.5.2

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

解题步骤 16.5.3

约去公因数。

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

解题步骤 16.5.4

重写表达式。

$\ln (5 x - 4) x - \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

解题步骤 16.6

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (5 x - 4) x - \frac{5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$\ln (5 x - 4) x - \frac{1}{5} (5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

微积分学 示例

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